数学の問題です。

質問

a>0,b>0 とする。このとき、方程式16/logx(b)－16log3(a)/〔｛log2(b)｝｛log3(2)｝〕＋logx(b)=0 が x>1 の範囲で異なる2つの実数解を持つような点(a,b)の存在する領域を調べよ。
という問題です。どういう解き方または考え方をすればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

WiredLogic

logx(b) は、xを底とするbの対数、という意味ですよね？

底がバラバラだと、考えようがないので、
まず、何はともあれ、
logx(y) = loga(y)/loga(x) のような公式を使って底を揃えます。

何でもいいのですが、後の計算を考えると、簡単な方がいいので、
とりあえず、2ということにします。
(不等式のことも考えると、1より大きいものがお勧めです)

ここで底を一々書くのが面倒なので、log(x) は、底2ということにします。

logx(b) = log(b)/log(x), log3(a) = log(a)/log(3), log2(b)=log(b), log3(2)=1/log(3) なので、
0 = 16*log(x)/log(b) - 16*{log(a)/log(3)}/{log(b)/log(3)} + log(b)/log(x)
= 16*log(x)/log(b) - 16*{log(a)/log(b)} + log(b)/log(x)
両辺に、log(b)*log(x)をかけると、
0 = 16{log(x)}^2 - 16*log(a)*log(x) + {log(b)}^2

log(x) = X とすると、x＞1 ⇔ X＞0 なので、
X＞0の範囲で、16X^2 - 16*log(a)*X + {log(b)}^2 = 0 が
異なる２つの実数解Xを持つようなlog(a),log(b)の条件なら、
数Iの問題として、不等式の形で、求まります。

その不等式で与えられた条件を、a,bについての不等式に直して、
(a,b)の存在する領域として表せば、終わりです。

お礼

> logx(b) は、xを底とするbの対数、という意味ですよね？

はい、そうです。分かりにくかったですね。すみません。
a, bについての不等式は a>2b でいいですか？
ご指摘おねがいします。

回答No.1

Willyt

まず logx を zとします。すると与式は

　１６ｚ／log(b)-16log(a)・log(b)+log(b)／z=0 と言う式になります。 そのときには底を αとする log(A)=log(A)/log(α）　という公式を使います。上式の底は任意でいいのですが、一応１０としておきましょう。

これは　16z^2 -16log(a)・log(b)・z+log(b)=0　となり、これは通常の二次方程式になりますから　判別式が正である条件から loga logb を求め、そこから a,b を計算すればいいのです。ただ、ｘ＞１ですから　ｚは正でなければなりませんから、これのチェックを忘れないようにして下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
底の変換から二次方程式の形に持っていくのですね。
あの、私が計算したのと合わないのですが、やっぱり私が間違っているのでしょうか。
もう一度計算してみます。