自然数nはいくつですか？ の問題

質問

問題　727，153を自然数ｎで割ったら余りがそれぞれ7と9でした。
　　自然数ｎは何個でしょうか？

　解）商をq1 q2として，727＝q1n+7 153=q2+9で表す。
　　　720＝q1ｎ
　　　144＝q2ｎ
　　素因数分解して，720＝2^4×3^2×5
　　　　　　　　　　144＝2^4×3^2
　　で・・・・・
　　このあとすぐに答えがでるとは思うのですが，わからなく・・。

　　またはこんなことしなくても解答でるかもしれません。

　どのように考えればいいですか？

回答No.2

abyss-sym · ベストアンサー

素因数分解して，720＝2^4×3^2×5、144＝2^4×3^2
ここで、720は144の倍数ですから、144を割り切ることができる数は720も割り切ることができます。
ここで、144を割り切ることができる数＝約数を考えます。
多分、高1の組み合わせのところで公式があったと思うんですが
144＝2^4×3^2の約数の個数は、(4+1)(2+1)＝15個

ここで,約数のうち９より大きいものを考えます。
なぜ、９より大きくなければならないかというと、
例えば、153を４で割って９余りがだったとします。
153＝４×q1＋９が成り立ちます。おかしいと思いませんか？
４で割ってるのに、余りが９とは。
この式はさらに変形して153＝4(q1＋2)＋1
というふうに変形して、商q1+2、余り1と考えることができます。
『割る数＞余り』が成り立つんです

問題の解答に戻ります。
15個のうち９より小さいものは、1,2,3,4,6,8,9の7個
よって15-7=8　答え８個となります。

お礼

なるいほどです。ありがとうございました。

回答No.3

pyon1956

ちなみに#1さんの答は2^4＝16を見落としていますね。
#2さんのやり方は標準的で、現在ですと高校数学の教科書、数学Aのところによく例題などとしてのっている数え方が基本です。
たとえば素因数分解で(a^x)(b^y)(c^z)になる数の約数の総数は
(x+1)y+1)(z+1)です。（+1は0乗の分）

お礼

ありがとうございます。本屋でみてみます。

回答No.1

mrsara

書いてあるところまではあっています。

ｎは2^4X3~2の因数になります。
しかし注意しないといけないのはあまりが７，９ですから
９以下の自然数だと割れてしまいます。

なのでｑ＞９となります。

なので解は、2*2*3=12,2*3*3=18,2*2*2*3=24,2*2*3*3=36
2*2*2*2*3=48,2*2*2*3*3=72,2*2*2*2*3*3=144
以上７個です。

補足

ごめんなさい、しかしからが・・・。
余りが７、９だと９以下の自然数で割り切れてしまうとは・・？

ここが理解できると以下たぶん理解できるような気も・・。