数学について

質問

ｎを正の整数とするとき、√7200／ｎが整数となるようなｎの値は何通りか。
という問題です。

7200を素因数分解して、7200＝２＾5×３＾2×５＾2
はわかりますが、このあとどのような計算をするのかわかりません。
数学が苦手なので、詳しく教えてもらったらうれしいです。
すいません

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。
面白い問題ですね。

＞ｎを正の整数とするとき、√7200／ｎが整数となるようなｎの値は何通りか。
という問題です。

この√は、7200/n　という数字全体にかかっているんですよね？

とすると、＃１さんのやっておられるとおりに、素因数分解して
7200＝２＾5×３＾2×５＾2
n=２^a×３^b×５^c
と、おいてみると、ルートの中身が、外にくくりだせるようにするには、
ルートの中身は、２の偶数乗、３の偶数乗、５の偶数乗でなければなりません。
7200をｎで割ったものが、そのようになるためには、
２のべき乗のところは、２の０，２，４乗のどれかです。
つまり、２の(5-a)乗が０，２，４乗になりますから、
a=1,3,5の３通りとなるのです。

同様に、３の(2-b)乗が、３の０または２乗になるには、
2-b=0のとき、b=2
2-b=2のとき、b=0
なので、ｂは０，２の２通り。

５の(2-c)乗も同様に、０または２になるのは、
c=0,2の２通り。

よって、３×２×２＝１２通り、になるのだと思います。

回答No.3

eatern27

＞aは、０,２,４の３通り では？
#1さんは、
＞割り算した結果を素因数分解した際の指数（右肩の数）が偶数であればいいので
と「割り算した結果を・・・」と書いていますね？
だから、n=2^a×3^b×5^cの指数が偶数となればいい、という意味ではありません。

割り算した結果というのは、
7200/nのことで、
これを素因数分解した
2^(5-a)×3^(2-b)*5^(2-c)
の指数が偶数であればいいということです。

5-aが偶数となるaは1,3,5の3通りです。

回答No.1

springside

n=２^a×３^b×５^cと置けて（これ以外の素因数だと、そもそもルート内が整数にならないため）、割り算した結果を素因数分解した際の指数（右肩の数）が偶数であればいいので、

aは、1,3,5の３通り
bは、0,2の２通り
cは、0,2の２通り

なので、３×２×２の１２通り

ってのは違うかな？

補足

変な質問だったらごめんなさい

素因数分解した際の指数（右肩の数）が偶数であればいいということは
aは、1,3,5の３通り
bは、0,2の２通り
cは、0,2の２通り

のaは、０,２,４の３通り
では？
すいません、理解が遅くて