数学に関して

質問

以下の問題を教えてください。
nは2以上の自然数であり、a、bは実数である。2つの方程式
x^3-ax-2nb=0,x^3-bx-2na=0
は，それぞれ共通である1つの実数解と共通でない2つの虚数解とをもつ。

(1)共通は実数解をnで表せ。
(2)aは何個の整数値をとりうるか、その個数をnで表せ。

お願いします。

回答No.1

spring135

(1)
x^3-ax-2nb=0 (1)

x^3-bx-2na=0　　(2)

が共通根を持つとき、共通根xは２式を満たすので２式を引き算して整理すると

(b-a)(x-2n)=0

b=aではこの問題は成立しないので

b≠a

x=2n　　(3)

(2)

(3)を(1)に代入して

a+b=4n^2 (4)

(4)は(3)を(2)に代入したときも成り立つ。

(4)より

b=4n^2-a　　(5)

これを(1)に代入して

x^3-ax-2n(4n^2-a)=0　(6)

これは実根2nと２虚根を持つ。

(6)を因数分解すると

(x-2n)(x^2+2nx+4n^2-a)=0

従って

x^2+2nx+4n^2-a＝0は虚根を持つので

D=n^2-(4n^2-a)<0

a<3n^2 (7)

(4)より

a=4n^2-b (8)

これを(2)へ代入して

x^3-bx-2n(4n^2-b)=0 (9)

これは実根2nと２虚根を持つ。

(9)を因数分解すると

(x-2n)(x^2+2nx+4n^2-b)=0

従って

x^2+2nx+4n^2-b＝0は虚根を持つので

D=n^2-(4n^2-b)<0

b<3n^2 (10)

(4)を用いると

b=4n^2-a<3n^2

これより

a>n^2 (11)

(7)、(11)より

n^2<a<3n^2

aが整数値をとるとすれば

n^2+1≦a≦3n^2-1

個数は

3n^2-1-(n^2+1)=2n^2-2