n番目の素数

質問

整数論に関する質問です。
0を自然数に含めるとして、n+1番目の素数をp(n)とした場合に（例えば、p(0) = 2, p(1) = 3）、
p(n) > n+1
をどうやって示したらいいのか困っています…。
帰納法を使えばいいのだろうと見当はつきますが、induction stepをどうすればいいのか分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi

#2です。

＞「n+1番目の素数は、n番目の奇数以上である。」
ここで考えてたことをもう少し補ってみると、少し感覚的ですが
・素数：2については、成り立っている。
・そして、3以上の素数は、すべて奇数となる。
・ということは、n+1番目の素数は、n番目の奇数以上になる。
・n番目の奇数は 2n+1と表されるので、明らかに p(n)≧ 2n+1＞ n+1

こんな感じでした。帰納法は使ってません。
一応、漏れているところはないのかなと思ったのですが。

お礼

回答どうもです。
なるほど…。
たしかに、解説してくださった箇所だけ見ると帰納法使って無いように見えますが
しかし、「n+1番目の素数は、n番目の奇数以上になる」というのを示すのには
結局、帰納法が必要ではないでしょうか。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

「n+1番目の素数は、n番目の奇数」以上である。」
このことが言えればいいのではないでしょうか？

あえて、「n+1番目の素数をp(n)」と書いてあるところをみると、
p(0)＝ 2（唯一の偶数の素数）をうまく除外しているような気がします。

お礼

回答どうも。
0から始めるのは自然数に関する単なる規約かと思っていましたが。

しかし、改めて考えて、要するに「より大きい」ということさえ言えばいいのかなと気付きました。
以下のような感じでしょうか。

[B.C.]
0+1 < p(0) =2

[I.S.]
k+1 < p(k) と仮定して、(k+1)+1 < p(k+1) を示したい。
k+1 < p(k) より (k+1)+1 ≦ p(k)
ところで、p(k+1)は、p(k)より大きく、かつ素数であるような最小数。
定義上、p(k) < p(k+1) なので、推移性から
(k+1)+1 < p(k+1)

帰納法により任意のnについて n+1 < p(n).

回答No.1

koko_u_u

> induction stepをどうすればいいのか分かりません。

そういう時は、具体的に n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 くらいまでやれば、自明だとわかるよね。
わかんない時もあるけど、この問題に限って言えば前者だと思うよ。