素数と次の素数の間隔について

質問

先日、NHKのリーマン予想の番組を見て、素数に興味を持ちました。
番組では、素数の出現の不規則性について紹介されてました。
自然数を１から順に見ていくと、素数が比較的密集しているところと、あまり出てこない場所がある、とのことでした。

そこで、隣り合う素数の間隔について、最小のものは3と2の間隔が1とか、2のもの、双子の素数（P(n+1)-P(n)=2）は無限にあることが確か証明されてた）と分かるのですが、最大の間隔、というものはあるのでしょうか。

つまり、ある数Nがあって、N≧（P(n+1)-P(n)）とおさえられる数Nというものがあるのでしょうか？？それとも、いくらでも長い間隔の素数の対があって、n→∞とすれば、max{P(n+1)-P(n)}は発散するものなんでしょうか？？

すみません、全然知識がないもので、素人質問ですが、素数の不思議さを知って、とても気になりました。もしかしたら、既出とか昔から知られてるのかも知れませんが、調べられませんでしたので、どうぞ、ご存知の方、教えて下さい！

もしNがあるのでしたら、何番目と何番目の間隔が最大で、そのNも知りたいです。

回答No.3

Ae610 · ベストアンサー

n!+2は2で割り切れる。
n!+3は3で割り切れる。
・・・
n!+nはnで割り切れる。

してみると、nは幾らでも大きく取れるので、いくらでも大きな、素数が出てこない間隔が存在する。
・・・といえる。

お礼

ありがとうございました。
おお～！！！なるほど、素晴らしいですね！(^-^)
やはり発散するのですね～。面白いです。勉強になりました。

回答No.7

kabaokaba

＞・(N+1)!+1は素数である
＞は、多分、間違いですよね？？

うわ，やっちまた（苦笑）
こんなのうそに決まってます．
5^2=25=(1+3)!+1です．
間違いです．
素数が無限個あるの証明と頭の中で混線してたようです．

No.6さんフォローどうもです．

お礼

わざわざ回答下さり、ありがとうございました！

回答No.6

yoikagari

kabaokabaさんも書いてますが、素数の隔たりはいくらでもでも大きくなります。
言い換えると、いくらでもたくさんの連続する合成数（1とその数以外の約数を持つ数）の列があるということです。

kabaokabaさんが書いたことを補足したいと思います。
ある連続するN個の正整数(N+1)!+2，(N+1)!+3，...，(N+1)!+(N+1)を考えます。
(上記の(N+1)!の意味は、1からN+1までの正整数をすべて掛け合わせたもの、すなわち、(N+1)!=1*2*…*(N+1)という意味です）

以下で、(N+1)!+2，(N+1)!+3，...，(N+1)!+(N+1)がすべて素数ではないことをいいます。

(N+1)!+2=1*2*3*…*(N+1)+2=2*{1*3*…*(N+1)+1}ですから
(N+1)!+2は2で割り切れます。よって、(N+1)!+2は素数ではありません。

(N+1)!+3=1*2*3*4…*(N+1)+3=3*{1*2*4…*(N+1)+1}ですから
(N+1)!+3は3で割り切れます。よって、(N+1)!+3は素数ではありません。

・・・（これを繰り返します）・・・・

(N+1)!+(N+1)=1*2*…*N*(N+1)+(N+1)=(N+1)*(1*2*…*N+1)ですから
(N+1)!+N+1はN+1で割り切れます。よって、(N+1)!+N+1は素数ではありません。

以上より、(N+1)!+2，(N+1)!+3，...，(N+1)!+(N+1)がすべて素数ではないことが言えました。
よって、N個の連続する合成数（素数ではない）が得られました。
Nはいくらでも大きくなりますので、いくらでもたくさんの連続する合成数の列が得られました。
以上より、素数の間隔はいくらでも大きくなりえます。

お礼

ありがとうございました。
丁寧な解説、ありがとうございました！非情に良く分かりました。
うーん、素晴らしいですね。１００億も素数がない場所、もあるんですね～。

回答No.5

kabaokaba

任意の自然数Nに対して，二つの素数p，q（p<q）が存在して
・pとqの間には素数はない
・q-p>=N
とできる．
これは比較的単純に示せる．
・(N+1)!+1は素数である
・(N+1)!+2，(N+1)!+3，...，(N+1)!+N，(N+1)!+(N+1)は素数ではない
よって示せた．

で，素数を生み出す式があるかという話だけども
これは過去の話で一応あることはあるようです
マチセアビッチの多項式ですな．
もっともこれは実用には役に立たないようです

お礼

ありがとうございました。
No3の方と同じですよね。なるほど～。

ちなみに、

・(N+1)!+1は素数である

は、多分、間違いですよね？？（少なくとも明らかではない気が…。）

素数を生み出す式！！そんな式があるとしたら衝撃ですね。（驚）

回答No.4

nag0720

＃２です。すみません。勘違いです、うろ覚えのまま回答してしまいました。無視してください。

お礼

ありがとうございました。
一生懸命解読をしようとしておりました。(^^+)
でも、感謝です！m(_ _)m

回答No.2

nag0720

最大間隔は存在しません。

任意のM,Nに対して、(M+N)!/M! はM+1, M+2,・・・,M+N で割り切れます。
つまり、素数の間隔はN以上です。
Nは任意なので、どんなNに対しても間隔がN以上になる区間は存在します。

回答No.1

wakko777

素数は全部わかっていないから、最大の間隔の素数なんてわからないんじゃないかな。

お礼

ありがとうございます。
素数は無限にあるので、全部分かるときは永遠に来ないでしょう。（笑）