ペル方程式の自然数解と有理数解

質問

Dを平方数でない自然数とするとき、ペル方程式
x^2-Dy^2=1
は非自明な整数解(x,y)∈Z^2、特に自然数解(x,y)∈N^2を持つことは有名な事実です。Dirichlet原理(無理数の整数周期性の非存在)を用いた抽象論的証明や、二次無理数の(正則)連分数展開の周期性を用いた構成的証明が知られていると思いますが、非自明な有理数解でよいのなら、
(x,y)=((D+n^2)/(D-n^2),2n/(D-n^2))が確かに解を与えることは直ちにわかります。必要というわけではないですが、n^2<D<(n+1)^2としておきます。

もちろん(D+n^2)/(D-n^2)と2n/(D-n^2)が自然数になるようなD、たとえば、D=2,3,5,6,8,10,…などは非自明な自然数解の存在も同時にわかるわけですが、たとえばD=7などでは自然数解の存在まではこれだけではわかりません。そこで、有理数解の存在を既知とした場合、それから自然数解の存在を導く証明はないのか、と考えたのですが、思いつきませんでした。もし何かよい方法があればご教授いただけませんか？

回答No.1

yoikagari

要するに、x^2-Dy^2=1が自明でない有理数解を持つ⇒x^2-Dy^2=1が自明でない整数解を持つ・・・○
がいえるかどうかだと思います。

○の証明は難しいと思います。
少なくとも、Dirichlet原理を用いた証明や連分数を用いた証明より難しくなると思います。

以下私の考えを述べます。
「(下のURL参照)セールの数論講義の4章を参照した限りでは、
x_0とy_0をx^2-Dy^2=1の自明ではない正の有理数解としたとき、
|(s-x_0)^2-D(t-y_0)^2|＜1となるような整数の組(s,t)が取れるかどうか・・・※
が焦点になるのではと思います。
もし上記の※が正しいのであれば、セールの数論講義の4章の議論によって、○が正しいことが言えると思います(詳しいことは、下記URLのセールの「数論講義」を参照ください)。
ただ、※が正しいと言うことはQ(√D)の整数環がユークリッド環になることを意味します。
Q(√D)の整数環がユークリッド環になるのは稀ですので、この方法で○を示すのは難しいと思います。」

参考URL：

http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/1/0054960.html

お礼

どうも丁寧なご回答ありがとうございます。近いうちにセールの本も参照してみようと思いますが、難しいのだということが理解できました。実は二次無理数の連分数展開が周期的になることの証明を考えているとき、有理連分数への展開なら常に周期が2であることに気づいたので、簡単な証明法はないのか、と思っていたのでした。たとえばx^2-1999y^2=1の最小自然数解はものすごく大きいですが、√1999=[44;88/63,88,88/63,…]と簡単に連分数展開できます。自然数係数の正則連分数展開は難解ですが、これが簡単に計算できないものか、と思っていました。二次無理数の正則連分数展開の周期に秩序がない以上、自明なものから非自明なものを導けるのだろうかと悩んでいたのですが、やはり無理だとということがわかり安心いたしました。