整数論の素数の問題なんですけど、

質問

整数論の素数の問題なんですけど、

a、nは自然数でa^n-1が素数であるとする。
このときa=2,nは素数であることを示せ。

わかるかたいたらお願いします(><)

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

a≠2,n=1のとき　a^n-1　が素数になる事もあります。
a=4,n=1 のとき　a^n-1=4^1-1=3 素数
a=6,n=1 のとき　a^n-1=6^1-1=5 素数
a=8,n=1 のとき　a^n-1=6^1-1=7 素数
a=12,n=1 のとき　a^n-1=12^1-1=11 素数

a,n は2以上の自然数で a^n-1が素数であるとする
a^n-1=(a-1)Σ_{k=1～n}a^{n-k}

a^n-1が素数,a-1,Σ_{k=1～n}a^{n-k}自然数

a-1=1　又は　Σ_{k=1～n}a^{n-k}=1
Σ_{k=1～n}a^{n-k}=1のとき
a^n-1=a-1
a^n=a
n=1
↓
a-1=1
a=2
n=ij
2^n-1=(2^i-1)Σ_{k=1～j}2^{i(j-k)}

2^i-1=1　又は　Σ_{k=1～j}2^{i(j-k)}=1
Σ_{k=1～j}2^{i(j-k)}=1のとき
2^n-1=2^i-1
n=i
j=1

2^i-1=1のとき
2^i=2
i=1
↓
nは素数

回答No.2

yoikagari

公式x^m -1=(x-1){x^(m-1) +x^(m-2) +…+1}…§
がポイント

a=1のとき
a^n -1=0だからa^n -1は素数ではないから不合理

a≧3であれば
§で上げた公式でx=a，m=nとおくと
a^n -1=(a-1){a^(n-1) +a^(n-2) +…+1}となるから
a^n -１は合成数となって不合理

a=2でnが合成数のとき
n=st(s,tはともに1より大きな整数)とかける
§で上げた公式でx=2^s，m=tとおくと
2^n -1=(2^s -1){(2^s)^(t-1) +(2^s)^(t-2) +…+1}だから
2^n -1は合成数となって不合理。

したがってa^n -1が素数となるためにはa=2でなおかつnが素数
でなければならない。

回答No.1

sotom

ヒント：(a^n)-1=(a^(n/2)+1）*(a^(n/2)-1）