ｎを自然数とするとき、ｎ

質問

ｎを自然数とするとき、ｎ＾5とｎの1の位の数は一致することを示せ。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

n=1のときはn^5=n=1 なので明らかに成り立つ。

n=2のときはn^5=32なので成り立つ。

n≧3のとき

n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)((n-2)(n+2)+5)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

ここで上の式の第1項は連続する５個の自然数の積であるから必ず2の倍数と5の倍数を含み2と5は互いに素であるから10の倍数である。

また第2項も5と連続する3個の自然数の積であるから10の倍数である。

したがってn^5-nは常に10の倍数となるからｎ^5とｎの1の位の数は一致する

回答No.8

178-tall

< ANo.7

…の誤打訂正。

昇順に網羅するのは p=1 が最初。

昇順網羅の「周期」Tp が 4 だということ、かナ？

回答No.7

178-tall

>ｎを自然数とするとき、ｎ＾5とｎの1の位の数は一致することを示せ。

勘定して「示せ」ても、当方は証明不可。

現象だけ羅列してみると…。

m ∈{0, 1, 2, …, 9} とする。
m^p (p は自然数) を {0^p, 1^p, 2^p, …, 9^p} と羅列してみると、p が奇数のとき 1 の位に {0, 1, 2, …, 9} を網羅 (順不同) 。
昇順に網羅するのは p=9 が最初。
そのあと、p を 4 増やすごとに昇順網羅が再現。
m^4 を羅列してみると、1 の位が {0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1} で、これは昇順網羅をうまいこと再現する配列。

これを簡潔に説明できる「数論？」はどんなものなのでしょう。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

n=10l + m (m=0~9)
とすれば l が1の位に影響を与えないことは
明らかなので、n=O~9 だけ考えればよい。

n=0、n^5=0
n=1、n^5=1
n=2、n^5=32
n=3、n^5=243
n=4、n^5=1024
n=5、n^5=3125
n=6、n^5=7776
n=7、n^5=16807
n=8、n^5=32768
n=9、n^5=59049

回答No.5

ask-it-aurora

回答No.3の[環論を使った解法]は誤りです．ごめんなさい．それはn∈U(Z/10Z)のときしか正しくないので．

代わりに中国剰余定理を使った証明を書いておきます．

中国剰余定理から環同型Z/10Z ≌ Z/2Z × Z/5Z, n ↦ (n mod 2, n mod 5)がある．フェルマーの小定理よりn^2 ≡ n (mod 2)なのでn^5 = (n^2)^2 n ≡ n (mod 2)．さらにフェルマーの小定理よりn^5 ≡ n (mod 5)．よって同型対応からn^5 ≡ n (mod 10)を得る．

回答No.3

ask-it-aurora

[環論を使った解法]
|U(Z/10Z)| = φ(10) = 10(1 - 1/2)(1 - 1/5) = 4．
よってn^4 ≡ 1 (mod 10)なのでn^5 ≡ n (mod 10)．題意は示された．

[素朴な解法]
n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1)
= n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)．
連続する二数n, n + 1があるのでこれが2の倍数であることは明らか．5の倍数であることは場合分けをして確かめる．

(i) n, n - 1, n + 1に5の倍数を含む場合．
明らか．
(ii) n, n - 1, n + 1に5の倍数を含まない場合．
n = 5m + 2あるいはn = 5m + 3となる自然数mがある．いずれの場合も
n^2 + 1 ≡ 0 (mod 5)
となり，5の倍数を含む．

したがって全体は10の倍数になり，n^5とnの1の位は一致する．

回答No.2

asuncion

n^5とnが、10を法として合同であることを示せばよい。
nの十の位から上は関係なくて、一の位だけを意識する。

1^5 (mod 10) = 1

2^5 (mod 10) = 32 (mod 10) ≡ 2 (mod 10)

3^5 (mod 10) = 243 (mod 10) ≡ 3 (mod 10)

4^5 (mod 10) = (2^2)^5 (mod 10) = (2^5)^2 (mod 10) ≡ 2^2 (mod 10) = 4 mod(10)

5^5 (mod 10) = 5

6^5 (mod 10) = (2・3)^5 (mod 10) = (2^5)(3^5) (mod 10) = 2・3 (mod 10) = 6

7^1 (mod 10) = 7
7^2 (mod 10) = 9
7^3 (mod 10) = 3
7^4 (mod 10) = 1
7^5 (mod 10) = 7

8^5 (mod 10) = (2^3)^5 (mod 10) = (2^5)^3 (mod 10) = 2^3 (mod 10) = 8

9^5 (mod 10) = (3^2)^5 (mod 10) = (3^5)^2 (mod 10) = 3^2 (mod 10) = 9

不思議ですね。きれいに一致します。
エレファントな方法を使ってしまいました。

回答No.1

noname2727

n^5-nが10の倍数であることを示せば良い。

n^5-n=n(n^4-1)=n(n+1)(n-1)(n^2+1)

これは連続数の積なので2の倍数である。

n=5kのときn^5-nは5の倍数
n=5k±1のときある整数Nを用いて
n^5-n=5N±1-（5k±1）＝5（N-k）
となるので5の倍数
n＝5k±２のときある整数Mを用いて
n＾５-n＝５M-32+（5k+２）＝５（M-6+k）
となるので5の倍数

以上からn^5-nが10の倍数