関数の最小値とその求め方を知りたいです。

質問

y=2^x/x^2

微分（？）をして接線の傾きが0になるxを探せばいいのかと思ったのですが、
具体的にどうしたらよいのか分かりませんでした。

私は高校1年性位の数学の知識はあると思います。

どうかよろしくおねがいいたします。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

＃３です．

補足に対する回答：

ご要望に応じて，関数 y＝2^x/x^2 の微分を解説します．

微分は，´ で表します．関数 y＝2^x/x^2 の微分は，分数の微分公式や対数の微分法などを用います．

y´＝[(2^x)´・(x^2)－(2^x)(x^2)´]/(x^2)^2 ＝
＝[(2^x)´・(x^2)－(2^x)(2x)]/(x^4)

(2^x)´ を求めるために，

z ＝ 2^x と置きます．両辺の対数（自然対数）をとると，

log(z) ＝ log(2^x) ＝x・log(2)

log(z) ＝ x・log(2)

となりますから，log(z) ＝ x・log(2) の両辺を x で微分すると，

z´/z ＝ log(2)

z´＝ z・log(2)＝ (2^x)・log(2)

(2^x)´＝ (2^x)・log(2)

となります．したがって，y´ は，

y´＝[(2^x)´・(x^2)－(2^x)(2x)]/(x^4)＝
＝[(2^x)・log(2)・(x^2)－(2^x)(2x)]/(x^4)＝
＝[(2^x){・log(2)・(x^2)－(2x)}]/(x^4)＝
＝[(2^x){log(2)・x－2}]/(x^3)

y´＝[(2^x){log(2)・x－2}]/(x^3)

です．極小値は，y´＝0 となる点ですから，

log(2)・x－2 ＝ 0

x ＝ 2/log(2) ≒ 2.88539008

この x ＝ 2/log(2) が極小値の x の点です．極小値の y は，

y＝2^(2/log(2))/(2/log(2))^2＝2^(2/log(2))/(2/log(2))^2＝
＝ (1/4)・2^(2/log(2))/(log(2))^2

これを数値計算すると，極小値の y は，

y ≒ 0.887523568

となります．

余談ですが，下記の計算ソフト（WolframAlpha ）を使って計算すると，関数の全貌がよく分かります．

WolframAlpha Computational Knowledge Engine
--------------------------------------------
http://www.wolframalpha.com/
--------------------------------------------

にアクセスして，

y=(2^x)/(x^2)

と入力し，〓をクリックすると関数 y＝2^x/x^2 について，グラフなどの解が得られます．
試してみて下さい．

回答No.3

Knotopolog

この関数 y＝2^x/x^2 は，極値として，極小値を持ちます．
すなわち，

x＝1 で， y＝2
x＝2 で， y＝4/4＝1
x＝3 で， y＝8/9＜1
x＝4 で， y＝16/16＝1

となりますから，x＝2 と x＝4 の間で極小値が存在します．
極小値の x の値を求めるには，関数 y＝2^x/x^2 を微分して，
0 と置き，その式から x を求めます．すなわち，

dy/dx＝(2^x/x^4)'＝0

です．計算してみて下さい．

補足

えーと。すみません。質問に書いたとおりその微分の仕方を知りたいのです。

回答No.2

Mr_Holland

x>0などとxの範囲が限られていませんか？
　もしx≠0の範囲でしたらANo.1さんが言われるように最小値はありません。
　x>0の範囲でしたら最小値があります。
　高校1年生ではまだ習っていないと思いますが、微分の仕方はわかりますか？

補足

すみません。ドメインは指示されていないので、最小値でなく極小値でしょうか。
お恥ずかしい事に高校は記憶の彼方の大昔に卒業しました。

微分して接線の傾きが0になる所を探そうとおもったのですが。
この式を微分するにはどうすればよいかが分かりませんでした。

回答No.1

alice_44

最小値は無いです。

数I をマスターしていれば、
y＞0 であることは解るでしょう。

この先は、「極限」の知識がないと
難しいかもしれませんが、
x が負で絶対値の非常に大きい数のとき、
y はいくらでも 0 に近づきますから、
値域は y＞0 で下限を含みません。

y = 2のx乗 のグラフを掛ける人であれば、
この辺の事情は理解できるかな。

補足

すみません。私が知りたかったのは「極小値」でした。

「極限」勉強してみます。ありがとうございました、