２次関数と方程式の問題なのですが…

質問

点(1,5/2)を通り、放物線y=2(x-1)^2+3に接する接線の傾きとy切片を求めよ。ただし、接線の傾きは正とする。

わかるような気もするんですが、書き方がわかりません。
過程も詳しく教えて下さい!!

回答No.1

fukuda-h · ベストアンサー

まず接線の形を決めます
接線はx＝1ではないから傾きをmと置いて
y＝m(x-1)+5/2と置きます。これは公式です
次にy=2(x-1)^2+3と連立方程式を考えます(直線と放物線の交点のｘ座標を求めようとします）
ｙを消去して2(x-1)^2+3＝m(x-1)+5/2
整理して2(x-1)^2-m(x-1)+1/2＝０・・・(1)
展開して2x^2-(m+4)x+m+5/2＝０としてもいいですが、このままでも変わりません。(1)のンの意味さえわかればたいしたことはありません。
(1)の解が交点のｘ座標ですね。接するんですから(1)はただ一つの実数解しか持ちません。
したがって判別式＝０です
判別式m^2-4*2*(1/2)＝m^2-4＝0
傾き正からm＝２
よって接線はy＝２(x-1)+5/2＝２ｘ+1/2です
傾き2ｙ切片1/2

回答No.2

oyaoya65

> わかるような気もするんですが、
分かる範囲で補足に解答を書いてください。

ヒント
y=2(x-1)^2+3 …(1)
接線の傾きとy切片をa,bとおくと
y=ax+b (a>0) …(2)

点(1,5/2)を通ることから
5/2=a+b …(A)

(1)に(2)が接する条件は
(1)-(2)=0の方程式の判別式D=0
これから
8b+a^2+8a-24=0…(B)

(A)と(B)をa(>0),bの連立方程式として解くだけです。

（a=2,b=1/2と求まるはずです。）