この数学の問題の解き方を教えて下さい。

質問

この数学の問題の解き方を教えて下さい。

「P(x)=x^3-(2p+a)x^2+(2ap+1)x-a の式がある。pとaは実数の定数である。
P(x)をx-3で割ったあまりが10-6pであり、P(x)=0の実数解はaのみとする。

実数の範囲でP(x)を因数分解せよ」

という問題があります。

普通に(x-3)Q(x)+R という形にしようとしたのですが、2ap が邪魔で何も出来ません。
どうすればよいでしょうか？

回答No.2

momordica · ベストアンサー

因数分解でしょ？
どうして(x-3)Q(x)+Rという形にしようと思ったんですかね。
そんなことをしても、因数分解には結び付きませんけど……

実数解aを持つということから、P(x)は(x-a)を因数に持つことが分かりますから、
単純にP(x)を(x-p)で割ってみれば、うまく割り切れて、次のように因数分解できます。

　P(x)=(x-a)(x^2-2px+1)

実数解がaのほかにはないということなので、可能性としては
　(１)　x^2-2px+1=0は実数解をもたない（２つの異なる虚数解をもつ)
　(２)　x^2-2px+1=0は重解aをもつ
が考えられます。

(１)の場合は、これ以上因数分解すると虚数が出てきてしまうので、
実数の範囲ではこれ以上因数分解はできません。

(２)の場合は、解と係数の関係より、2a=2p, a^2=1　ですから、a=p=±1となります。
したがって、P(x)=(x±1)^3となるのですが、これらにx=3を代入してP(x)を計算してみると、
残念ながら、どちらの場合も10-6pとは一致しません。
よって、P(x)をx-3で割ったあまりが10-6pであるという条件に合わないので不適です。

以上より、(１)の場合だけを考えればよいことになるので、答は

　P(x)=(x-a)(x^2-2px+1)

です。
多分、この問題はまだ続きがあるのだろうと思いますが。

お礼

どうもありがとうございました。どうやら因数分解を勘違いしてたようです。
問題の続きはありますが、自分でやってみます。

回答No.1

haragyatei

Rは簡単にならないと思います。

そこでP(3)=10-6pとP(a)=0を連立方程式でa,pをもとめ

a=2, p=5/3

を得ます。もとの関数に代入すると

xだけの式となります。

すると因数分解されて

1/3*(x-3)(x-2)(3x-1)

と因数分解されます。