数学の問題で・・・

質問

p,q≠０
実数a,b,cが
b/p＋qa＝c/p＋qb＝a/p＋qc
を満たすとき、a＝b＝cであることを証明せよ。

という問題なんですが、どういった証明の仕方をすればいいでしょうか？私は与式を＝kとおいて証明しようと思ったのですが、なかなかうまくいきません・・。
回答よろしくお願いします。

回答No.12

a987654

与えられた式　b/p＋qa＝c/p＋qb＝a/p＋qc　より
（１）　b/p＋qa＝c/p＋qb　↓
　　　　b＋pqa＝c＋pqb　　↓
　　　　b－c＝pq（b－a）
（２）同様に　c－a＝pq（c－b）
（３）同様に　a－b＝pq（a－c）
　　p,q≠０であるから　pqがどのような値であっても（１）（２）（３）が成立する条件は
　　　b－c＝０かつb－a＝０
　　　c－a＝０かつc－b＝０
　　　a－b＝０かつa－c＝０
である
従って　a＝b＝c

（１）だけでもb＝c、b＝aとなりa＝b＝cとなりますから（２）（３）は蛇足ですが、念の為記入しました。

回答No.11

o_pato

Ｎｏ．１０です

すみません、間違ってました。

回答No.10

o_pato

対称性に注目します。

与式は、a,b,cに関して対称なので、a,bを入れ替えても成り立つ。

したがって、与式の最左辺と中辺に関して、

b/p＋qa＝c/p＋qb　--(1) ←元の式

a/p＋qb＝c/p＋qa　--(2) ←a,bを入れ替えたもの

が成り立ち、(1)+(2)により、

a+b=2c

同様に、

b+c=2a
c+a=2b

よって、任意の２数の平均が残りの数に等しいので、

a=b=c

回答No.9

mirage70

b/p＋qa＝c/p＋qbよりb-c=(b-a)pqよってpq=(b-c)/(b-a)
b/p＋qa＝a/p＋qcよりb-a=(c-a)pqよってpq=(b-a)/(c-a)
(b-c)/(b-a)=(b-a)/(c-a)
b^2-2ab+a^2=bc-ab-c^2+ac
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
ここで両辺を２倍します。
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
故にa=b=c

回答No.8

ayuiza

自分が証明するときのように表記します
また「pの二乗」となる場所は「pp」とさしていただきます（また三乗の時も同様です）
b/p＋qa＝c/p＋qb＝a/p＋qc=k とする
この時
qa=k-b/p⇒b=p(k-qa)…(1)
qb=k-c/p⇒c=p(k-qb)…(2)
qc=k-a/p⇒a=p(k-qc)…(3)
となる
ここでまず(1)に(3)を代入する
b=p{k-pq(k-qc)}
となる。さらにそこに(2)を代入する
b=p[k-pq{k-pq(k-qb)}]
=p{k-pq(k-kpq+pqqb)}
=p(k-kpq+kppqq-ppqqqb)
=kp-kpq+kpppqq-pppqqqb

b+bpppqqq=kp-kpq+kpppqq
b(1+pppqqq)=kp-kpq+kpppqq…(4)
また(2)に(1)を代入しその後に(3)を代入して整理すると
c(1+pppqqq)=kp-kpq+kpppqq…(5)
さらに(3)に(2)を代入しその後に(1)を代入して整理すると
a(1+pppqqq)=kp-kpq+kpppqq…(6)
(4)(5)(6)の右辺が等しいので左辺は等しい。つまり
b(1+pppqqq)=c(1+pppqqq)=a(1+pppqqq)
ということになるので
(1+pppqqq)を消去すると
a=b=cとなる
よってa=b=cである(証明終わり)

という風にします
(5)、(6)の部分が信じられないときは(4)より上を参考にしてといてみてください。ちゃんと(5)(6)となりますよ。
二乗や三乗が表示できなくて醜くなってしまって残念でした。ｐとｑとｂを見間違えないでくださいね

回答No.7

guuman

もう一箇所間違い行列式は1/p^3+q^3でした

回答No.6

guuman

以下所間違いb-aはa-bでした

A=b-c,B=c-a,C=a-b(ここ間違いだった)
とすると
A/p+qC=0,B/p+qA=0,C/p+qB=0…(*)
となります
これからC,Bを消去すればA=0がでるので対称性によってB=C=0も分かります

行列を知っていれば(*)から
[1/p 0 q] [A]
[q 1/p 0] [B]=0
[0 q 1/p] [C]
から係数行列が正則(係数行列式が1/p^3)なのでA=B=C=0がすぐに分かる

回答No.5

ZeusSeesSuez

与式にpを掛けて分母を払い、pq=tとおくと
b＋ta＝c＋tb＝a＋tc
これを変形して、
b-c=-t(a-b)
c-a=-t(b-c)
a-b=-t(c-a)
これを変形して
(a-b)(b-c)(c-a)(t^3+1)=0

あとはよろしく。

回答No.4

guuman

A=b-c,B=c-a,C=b-a
とすると
A/p+qC=0,B/p+qA=0,C/p+qB=0…(*)
となります
これからC,Bを消去すればA=0がでるので対称性によってB=C=0も分かります

行列を知っていれば(*)から
[1/p 0 q] [A]
[q 1/p 0] [B]=0
[0 q 1/p] [C]
から係数行列が正則(係数行列式が1/p^3)なのでA=B=C=0がすぐに分かる

回答No.3

sunasearch

b/p＋qa-c/p＋qb

=(b-c)/p + q(a-b)

がp,qによらず0になるためには、

b=c, a=b ではだめなのかな？