この問題の考え方をおしえてください

質問

大学の入試問題を解いているのですが、回答を見てもわからない問題がありました。

問題
２つの二次不等式
　　x^2-x-6>0…(1)
　　x^2+bx+c≦0…(2)
を考える。(1)、(2)の少なくとも一方を満たすxの範囲が実数全体となり、また(1)、(2)の両方を満たすxの範囲が3<x≦5となるとき、定数b、cの値を求めよ。

解答
(1)より、(x+2)(x-3)>0
よって、x<-2、3<x
題意より、方程式x^2+bx+c=0は異なる２つの解をもつから、それらをα、β　(α<β)とおくと、
(2)より、(x-α)(x-β)≦0
よってα≦x≦β
(1)、(2)のすくなくとも一方を満たすxの範囲が実数全体となるための条件は
α≦-2、3≦β　…(3)
(1)、(2)の両方を満たすxの範囲が3<x≦5となるための条件は、
-2≦α≦3、β=5　…(4)
(3)、(4)より、α=-2、β=5
よって、方程式x^2+bx+c=0は
(x+2)(x-5)=0　すなわち、x^2-3x-10
となることより、求めるb、cの値は
b=-3、c=-10　…（答え）

＞(2)より、(x-α)(x-β)≦0
　よってα≦x≦β
までは解ります。しかしそこから下がどう考えても解らないんです。
納得のいく説明をよろしくおねがいします。

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

>x<-2、3<xが掛かっていないところにα、βを求めろってことですか？←違う？(;^_^)

うーん、当たらずといえど遠からず、ってとこかな？

数直線を書いて考えてみれば一発です。
(1)の解（(1)を満たすｘの範囲）は、
x<-2,3<x　--- <1>
で決まっていて固定ですね。
そして、(2)の解について
α≦x≦β --- <2>
と置いたわけです。
このα≦x≦βで表される範囲を、数直線上で、適当に動かして考えてみましょう。

>(1)、(2)の少なくとも一方を満たすxの範囲が実数全体となり

これは何を意味するか？
＃１さんもお答えのとおり、<1>と<2>で数直線すべてをカバーしていることです。つまり、<2>は、<1>が含んでいない
-2≦x≦3
の範囲を含んでいる必要があります。
これから導きだされるのが、(3)の条件です。

次に
>また(1)、(2)の両方を満たすxの範囲が3<x≦5となる

これは何を意味しているか。
両方を満たす訳ですから、<1>かつ<2>、つまり両方の範囲の重なっている部分が、3＜x≦5となることです。
これから導きだされるのが、(4)の条件です。

「(3),(4)より」以降は、大丈夫ですね？

お礼

完全に理解できました。
どうもありがとうございます。

回答No.1

0shiete

＞(1)、(2)の少なくとも一方を満たすxの範囲が実数全体となり

ここがポイントですね。これが何を要求しているのかは、すでにお分かりですか？

（１）、（２）の答え
x<-2、3<x
α≦x≦β

を数直線上に書くと、全てをカバーしている状態にしたいということですね。こうなるようにα、βを決めればよいわけです。

お礼

すばやい回答ありがとうございます。

補足

あ！
わかりました！！
x<-2、3<xが掛かっていないところにα、βを求めろってことですか？←違う？(;^_^)