一次独立の問題です。

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

一次独立の問題なのですが、

＿＿＜問題＞_＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
集合{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n}
　＝{b_1,b_2,・・・,b_s,・・,b_n}とし、

その一部の集合
{a_1,a_2,・・・,a_r}と{b_1,b_2,・・・,b_s}
をそれぞれ一次独立な集合でr<sとします。

その時一次独立の集合｛a_1,a_2,・・・,a_r,a_p}、(r+1)≦p≦n
となるa_pが存在することを示せ。
_____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

直観的には当たり前のような感じなのですが、
いざ証明しようとすると手が動かず困っています。

簡単な方針だけでもよいのでよろしくお願いします。

回答No.3

tsukita · ベストアンサー

回答者No.1です。

すみません。回答というより、一緒に勉強をさせて頂いております。
以下、厳密に証明を行ってみたのですが、再度読んでいただけますでしょうか？

---証明---

これからの証明のために、記号を整理いたします。

ベクトルは、v,uを用いたいと思います。
以降、v,uはすべてベクトルとします。
また、a,bはスカラーとします。
添え字は、例えば、v_1,v_2,...,v_rをv1,v2,...,vrと表すことにします。

上記に従うと問題文は次のようになります。
＿＿＜問題＞_＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
集合{u1,u2,...,ur,...,un}
　＝{v1,v2,...,vs,...,vn}とし、

その一部の集合
{u1,u2,...,ur}と{v1,v2,...,vs}
をそれぞれ一次独立な集合でr<sとします。

その時一次独立の集合｛u1,u2,...,ur,up}、(r+1)≦p≦n
となるupが存在することを示せ。
_____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

次に、一般にベクトルw1,w2,...,wkの一次結合で表現できる集合の全体を<w1,w2,...,wk>と表すことにします。
つまり、
<w1,w2,...,wk>:={c1w1+c2w2+…+ckwk | c1,...,ckは実数(※)}
です。(※)ここでは実数としていますが、空間を考えているスカラーの全体として構いません。

（証明）

背理法を用います。

結論の『一次独立の集合｛u1,u2,…,ur,up}、(r+1)≦p≦nとなるupが存在する』を否定して、『どのup（(r+1)≦p≦n）を考えても、｛u1,u2,…,ur,up}一次独立ではない』と仮定します。

【命題Ａ】--------------------------------
{u(r+1),...,un}の任意の元uについて、
u=はu1,...,urの一次結合で表せる。
------------------------------------------
>>証明
任意にu∈{u(r+1),...,un}を選ぶ。このuについて、
du+d1u1+…+drur=o（o：零ベクトル）…(1)
を満たす(d,d1,...,dr)を考える。
例えば(0,0,...,0)は自明な解であるが、
いま自明な解以外の組み合わせが必ず存在する。
なぜなら、自明な解以外の組み合わせが存在すると、
背理法の仮定に反するからである。
そのような、自明な解以外の組み合わせについて、
特に、d≠0である。さもなければ、u1,...,urの一次独立性に反する。
従って、式(1)をベクトルuについて整理すれば、命題の主張が得られる。
<<証明終わり

命題Ａより、さらに次が成り立ちます。
【定理Ａ】--------------------------------
U:=<u1,...,un>=<v1,...,vn>の任意の元uは、
u1,...,urの一次結合で表せる。
------------------------------------------
>>証明
命題Ａよりu(r+1)～unがu1,...,urの一次結合で
表せるので明らか。
<<証明終わり

定理Ａより、U=<v1,...,vn>の元であるv1,...,vnも当然
u1,...,urの一次結合で表せることになります。
証明を次のステップに進めます。

【定理Ｂ１】---------------------------------
u1はv1,u2,...,urの一次結合で表せる。
-------------------------------------------
>>証明
定理Ａより、v1∈<u1,...,ur>であるので、
v1=c1u1,...,crur…(2)を満たす(c1,...,cr)が存在する。
{v1,...,vs}が一次独立であることから、v1は零ベクトルではない。
従って、(c1,...,cr)の少なくとも１つは0ではない。
必要であれば、添え字を入れ換えればよいので、
特にc1≠0とできる。従って、(2)式をu1について整理すれば、
u1がv1,u2,...,urの一次結合で表せる。
<<証明終わり

【定理Ｂ２のための定理】-------------------
u2は,v1,v2,u3,...,urの一次結合で表せる。
-------------------------------------------
>>証明
定理Ａより、v2∈<u1,...,ur>であり、
さらに、定理Ｂ１より、
u1∈<v1,u2,...,ur>であるから、
v2∈<v1,u2,...,ur>である。
従って、
v2=c1v1+c2u2,...,crur…(3)を満たす(c1,...,cr)が存在する。
もし(c2,...,cr)＝(0,...,0)とすると、
v2-c1v1=oとなるが、これは{v1,...,vs}の一次独立性に反するためである。従って、(c2,...,cr)の中には少なくとも１つは0でないものが存在するが、必要であれば添え字を入れ換えればよいので、特にc2≠0として構わない。あとは、u2について(3)式を整理すれば、定理Ｂ２の主張が得られる。
<<証明終わり

【定理Ｂ２】--------------------------------
u1,u2は,v1,v2,u3,...,urの一次結合で表せる。
--------------------------------------------
>>証明
定理Ｂ１と定理Ｂ２のための定理より明らか。
<<証明終わり

以降、同様の議論を繰り返すことで、次の定理が導けます。
【定理Ｂｒ】--------------------------------
u1,u2,...,urは,v1,v2,...vrの一次結合で表せる。
--------------------------------------------

さて、定理Ａより
U=<u1,...,ur>ですが、（※U:=<u1,...,un>=<v1,...,vn>と定義しました。）定理Ｂｒにより
U=<v1,...,vr>
であるともいえます。
しかし、このとき、Uの元であるv(r+1)やvsなどもv1,...,vrの一次結合で表現できることになりますが、これは{v1,...,vn}の一次独立性に反します。（Q.E.D）

回答を残してしまい、大変な苦労をしてしまいました。
もしまた穴があればご指摘お願いします。

お礼

ご回答どうもありがとうございます！
大変素晴らしい回答だと思います。

今ちょうど次元の勉強をしている所でして、本に載っているのは、同型写像や行列を利用したものばかりで、私にはどれも直観的な感じがしなかったのですが、これは高校レベルの知識のみで次元の一意性までも証明するすごい証明だと感じました。

初めて見た証明だったので、理解するのに時間が掛かってしまい、御礼が遅れましてすみません。

お忙しい中、大変詳しいご回答本当にどうもありがとうございます。

回答No.7

arrysthmia

No.6 の視点は、線型代数の基礎として重要なものですが、
残念ながら、質問の問題は、それを問う問題になっていません。

Span<a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n> ＝ Span<b_1,b_2,・・・,b_s,・・,b_n> でなく
集合{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n} ＝ {b_1,b_2,・・・,b_s,・・,b_n} としたのは、
あるいは、出題ミスなのかもしれません。

回答No.6

tsukita

No.3の補足です。

この議論は、"最大独立系"や"極大独立系"というキーワードでインターネットに検索をかけるとよいかもしれません。ベクトル空間において、最大で取ることができる一次独立なベクトルの数をdとしたとき、そのようなベクトルの組v_1,...,v_dを"最大独立系"や"極大独立系"とよぶことがあるようです。

vigo24さんの質問は、ベクトル空間の次元の定義がwell-definedであることを保証する点で意味の深いものと思われます。

お礼

補足回答どうもありがとうございます。

早速"最大独立系"や"極大独立系"で調べてみましてとても勉強になりました。

＞vigo24さんの質問は、ベクトル空間の次元の定義がwell-definedであることを保証する点で意味の深いものと思われます。

意味深いのは私の質問ではなく、tsukitaさんのNo.3のご回答のほうです。（笑）
一次独立の概念は高校生でも理解できることですし、私の質問もシンプルなものだと思うのですが、それを一次独立の定義のみから（そこからはみ出ることなく）証明したのはとてもすごいことだと思います。

どうもありがとうございました。

回答No.5

arrysthmia

あまり「一次独立」の問題でもないです。

＞ 集合{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n}＝{b_1,b_2,・・・,b_s,・・,b_n}とし、

なのでしょう？
{b_1,b_2,・・・,b_s} を一次独立な集合とする ということは、
{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n} の中に、一次独立な s 個のベクトルの組が在る
ということです。
r < s であれば、{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n} の中に、
{a_1,a_2,・・・,a_r} とは独立なベクトルが存在しなければならない。

有限集合の包含関係を考えているだけで、
一次独立性の具体的な性質は、特に使っていません。

補足

ご回答どうもありがとうございます。

まだ集合に関しては勉強していないのでよくわからないのですが、
もしかしたらarrysthmiaさんは
『{a_1,a_2,・・・,a_r}⊂{b_1,b_2,・・・,b_s}』のように
解釈なさっておられるのでは、と感じたのですが・・・。

問題では
『{a_1,a_2,・・・,a_r}⊂{b_1,b_2,・・・,b_s}』のような限定はしておりません。

もし私の勘違いでしたらすみません・・・。

回答No.4

Jyaikosan

集合{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n}＝{b_1,b_2,・・・,b_s,・・,b_n}
によって張られるベクトル空間をVとします。
a_1,a_2,・・・,a_r及びb_1,b_2,・・・,b_sが一次独立ですから

dimV≧rかつdimV≧sかつs＞r ⇒ dimV≧s・・・(1)

です。一方、一次独立な集合{a_1,a_2,・・・,a_r}に対し{a_1,a_2,・・・,a_r,a_p}
が一次独立となるようなa_pが存在しなければ

dimV＝r ・・・(2)

となって(1)と矛盾してしまいます。したがって要素の数が少なくともsに等しくなるまで
{a_1,a_2,・・・,a_r}にa_p (r+1≦p≦n)を追加できます。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

次元の一意性を利用するのですね。

簡潔で分かりやすいご回答どうもありがとうございます。

回答No.2

tsukita

回答者No.1です。

すみません。そうですね、
ｖ∈W＝{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n}
は成り立つとは限りませんね。
適切ではない回答をしてしまい申し訳ありませんでした。

さて、このvは、Ｂ'：＝{b_1,…,b_s}の一次結合で表現できるわけですが、問題の仮定Ａ：＝{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n}＝{b_1,b_2,・・・,b_s,・・,b_n}＝：Ｂ⊃Ｂ'より、Ｂ'⊂Ａです。
従って、Ａの部分集合でＢ'に等しいものＡ''が存在するわけですが、このＡ''はＡ'：＝{a_1,a_2,・・・,a_r}とは等しくありませんよね。（もし等しいならＡ'＝Ｂ'となるので…。）従って、A''の元でA'に含まれないものがa_pです。

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。

要するに
Ｂ'：＝{b_1,b_2,・・・,b_s}に含まれていて
Ａ'：＝{a_1,a_2,・・・,a_r}に含まれていない元が
a_pだということですよね？
そうすると今度は集合｛a_1,a_2,・・・,a_r,a_p}が
一次独立であるということが言えてないような気がするのですが・・・。

回答No.1

tsukita

集合{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n}
　＝{b_1,b_2,・・・,b_s,・・,b_n}
の要素はベクトルと考えていいでしょうか？

"一次独立"の定義ができているなら、多分
集合
Ｒ＝p_1a_1+p_2a_2+…+p_ra_r（p_i∈Ｒ：実数の全体）
Ｓ＝q_1b_1+q_2b_2+…+q_sb_s（q_i∈Ｒ：実数の全体）
が考えられると思います。
このとき、ＳとＲについて、
・Ｒ＝Ｓとはならない
・Ｒ≠Ｓのとき、v∈Ｓであるがv∈Ｒでない元vが存在する
が成り立つと思います。このvが求めるa_pの１つです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

仰るとおり、a_i,b_jはベクトルです。
書き落としてしまいましてすみません。

＞・Ｒ≠Ｓのとき、v∈Ｓであるがv∈Ｒでない元vが存在する
が成り立つと思います。

ここまではとてもよく分かったのですが、

＞このvが求めるa_pの１つです。

この最後の一行がピンと来ません。
ｖとa_i(i＝1,2,・・,r)が一次独立独立であることは分かるのですが、
ｖ∈W＝{a_1,a_2,・・・,a_r,・・,a_n}であること
は明らかなのでしょうか？