部分郡となることの証明

質問

GL_R(R^n):R^nからR^nへの全単射な線形変換の群
R^nの直交変換は全単射であることが分かっているとする。
GO(R^n)={f∈GL_R(R^n);fは直交変換}とおく。このとき、
GO(R^n)はGL_R(R^n)の部分郡となることを示したいのですが・・

GL_R(R^n)部分集合GO(R^n)が以下の３つの条件
(1)GO(R^n)∋a,b⇒ab∈GO(R^n)
(2)e∈GO(R^n)
(3)GO(R^n)∋a⇒a^(-1)∈GO(R^n)
を満たすとき、GO(R^n)はGL_R(R^n)の部分郡となす。

直交変換
⇔||f(a)||=||a||　(∀a∈R^n)
⇔(f(a),f(b))=(a,b)
⇔U:fの{e_1,…,e_n}に関する行列表現⇒tUU=E

これらを用いて示すかなとは思うのですがどのように式変形（？）をすればよいのかわかりません。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

ur2c · ベストアンサー

直交変換が全単射であることは仮定ですから、後は
(1) 直交変換を 2 回かさねると、それは直交変換であること。
(2) 何もしないことは直交変換であること。
(3) 直交変換をもとに戻す変換は直交変換であること。
を言えば良いだけです。

式の変形なんか、必要ですか？

群の話をしてるのですから、群という字くらいは正確に書いた方が。

お礼

回答ありがとうございました！
解決しました☆