５種類のカードが全て出そろう確率の最大値

質問

数学の得意な方にお伺いしたいです。

５種類のカードがあり、その中から一枚選んで確認してから元に戻す
という試行を繰り返し、全てのカードが出揃った時点でゲームが終了するとします。
この場合、何回目にゲームが終了する確率が最も高くなるのかを教えてください。

答えだけではなく計算式も教えてください。
できれば５枚以上の場合も考えたいので、一般化できればその計算方法も教えていただけると助かります。

文系大学レベルの数学は心得ております。
モンテカルロシミュレーションで解けるかなあと思ったのですが、エクセルでどう計算すれば良いかわからなくてできませんでした。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

どの種類のカードが出る確率も1/5としていいんですよね。

n回目でゲームが終了するのは、
(n-1)回目までに４種類のカードが出揃っていて、n回目に残りの１種類のカードが出る場合です。

その確率は、
5C4*{4^(n-1)-4C3*3^(n-1)+4C2*2^(n-1)-4C1*1^(n-1)}/5^n

エクセルで計算してみると、8回目のときに最大確率0.10752になります。

一般化もそれほど難しくはないでしょう。

お礼

ありがとうございます。
意外と単純な式で表せるのですね。

ただ、カードの枚数が増えると結構面倒な計算が必要そうですね。