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２分の１の確率について
数学が弱いので、教えて頂けると助かります。 コインをトスして、裏表を当てるゲームをするとします。 表が出れば勝ちと言う事にします。 １回目のトスでは、表が出る確率は２分の１になりますよね。 では、２回のチャンスが与えられるとすると、２回トスすることができるのですが、この場合表が出る確率というのは、どうなるのでしょうか？ １回目では表が出る確率は５０％。 １回目で裏が出た場合、もう１度トスすることができるので、２回の内１回表が出れば良いので、確率としては３分の２となり、６６.６％という計算で良いのでしょうか？ 同じく３回４回５回とチャレンジできる回数を増やしていくと、確率はどうなるのかが良く分かりません。 例えば最大５回チャレンジ可能として、５回の内１回でも表が出れば良いとすると、表が出る確率は最大どれくらいになりますか？ 逆に言うと、５回の内１回も表が出ないと言う事になります。 私の予想では、５回チャレンジすると、表が出る確率は６分の５となり約８３％だと思います。 もともと数学は得意ではなかったので、この計算方法で良いのかどうか不安だったので、どなたか教えて頂けると助かります。 とても簡単だと思いますが、よろしくお願いします。
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- chi-kon
- ベストアンサー率43% (58/132)
確率1/2という解釈は統計的な確率(場合の数)実験的な確率があります。 問題の趣旨は場合の数の話と考えるのが自然だとおもいます。 1回目に勝つ確率は 1/2 2回目に勝つ確率は 1回目で勝つか(1/2) 2回目で勝つか(一回目に裏をだし2回目に表を出す）(1/2*1/2) だから1/2+(1/2*1/2)=1/2+1/4=3/4 ここでは独立事象の和と積の法則を使っています。 N回やって勝つ確率は他の人の回答を参考になさってください。 ＞私の予想では、５回チャレンジすると、表が出る確率は＞６分の５となり約８３％だと思います。 本当にチャレンジするのであれば約83%になるかもしれません。(実験的確率) ただし数学の学問としては 1-(1/2)^5 [全確率(1)]-[5回全部裏が出る確率]=31/32 となります。 もちろん 1回目で勝つ確率＋2回目で勝つ確率...＋5回目で勝つ確率として求めても同じ答えになります。
- graphaffine
- ベストアンサー率23% (55/232)
Cuty_Catさん、今晩は。私は確率は嫌いなので このような質問に回答する事はないのですが、No8の回答を見て書きたくなりました。 まず、反問ですが ＞１回目のトスでは、表が出る確率は２分の１になりますよね。 これは何故ですか。コインと言っても現実にはいろいろなコイン（歪んだり曲がったり等）がありますよね。No8でも言っているように２通りの事象が有っても確からしさが同じでなければ確率は１／２にはなりません。 確率ではサイコロを題材にした問題が良くありますが、「サイコロの目が出る確率はどれも等しいとする」と言うような、但し書きがあるはずでそれが無ければ欠陥問題です。 要するに数学での確率の問題は理想的（言い換えれば、 非現実的)な場合を前提として考えているわけで、 従ってあくまで現実とは切り離されるべきものですが、この違いに無頓着な方がたまに見受けられるので 敢えて書かせてもらいました。
お礼
御回答ありがとうございます。 確かにコインには歪みがあったりして、裏表の出る確率が同等ではないことも考えられますね。 ですが、今回はそこまで厳密に考える必要もなかったので、簡単に確率としてどうなるか知りたかっただけなんです。 でも、確率の問題って奥が深いのですね。 コインの歪みの有無まで考えないといけない場合があるとな。。。 今後はそのことも頭に入れておこうと思います。 わざわざ、回答して頂きありがとうございました。
- fushigichan
- ベストアンサー率40% (4040/9937)
Cuty_Catさん、こんにちは。 たくさん回答がついてるので、どうかなあと思ったのですが ******************************************* 私の考えですが、１回目は２分の１になるのですが、１回目で裏が出た場合は、自動的に２回目のチャレンジになるので、下記の通りになると思いました。 ┏表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏 上記の末端の数を数えると、１回目の「表」、２回目の「表」と「裏」となり、全部で３パターンあり、その内「表」は２回あるので、３分の２となり２回の内表が出る確率は約６６％と思ったのです。 同様に３回チャレンジすると ┏表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏 となり、末端の数は４つなり、そのうち「表」は３、「裏」が１となるので、表が出る確率は４分の３となり７５％と言う事になります。 ********************************************** 上は、Cuty_Catさんのお考えですね。 表、きれいに描いてありますよね。 確かに、１回目が表だったら、もうトスしなくていいので、それで終わりです。 １回目に表である、ことと １回目に裏である、ことは同じ確率で起こるので、 どちらも１/２ ですよね？ 下の回答にも書かれていますが、 ┏表 １/２ ┃ ┗裏 １/２ ということです。このときに、１回目に裏が出たあとで ２回目のコイントスを行うと、 ２回目に表が出るのは、「１回目に裏が出て、その上で、表が出る」 のですから、１/２ × １/２＝１/４ となって、全体から見れば、１/４の確からしさになります。 ２回目に裏が出るのも「１回目に裏が出て、その上でまた裏が出る」 ということですから、１/２ × １/２＝１/４ という確からしさです。 なので、 ┏表 １/２ ┃ ┗裏┳表 １/４ ┃ ┗裏 １/４ となるので、単純に３つのケースがあって、そのうちの２とおりだから２/３だろう、 としてはいけないんですね。 それぞれの起こる確からしさが全然違っているからなんですね。 ご参考になればうれしいです。
お礼
御回答ありがとうございます。 学生の頃、もうちょっと良く勉強していれば良かったと思ってしまいました（ー＿ー； 確率を考えることって、これから先いろいろな所で役に立つと思うので、これからは少しずつ勉強してみようと思います。 解説、とても分かりやすかったです。 丁寧な御回答ありがとうございました。
- TK0318
- ベストアンサー率34% (1260/3650)
いまさら回答するのもなんですが・・・ こういうときは１ステップづつ考えていくといいです。 ┏表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏 をまとめて考えるからおかしくなるのです。 ┏表 ┃ ┗裏 なら単純に ┏表（１／２） ┃ ┗裏（１／２） ですね。同様に考えると ┏表（１／２） ┃ ┗裏（１／２）┳表 （１／２）→よって１／４ ┃ ┗裏 （１／２）→よって１／４ となり、表３／４、裏１／４となります。 あと＃３の ＞１回目が表であれば、２回目はトスしないので、 こういう問題ではたとえそこで勝負がついていても同じ回数を実行するように考えます。すると ┏表┳表 ┃ ┃ ┃ ┗裏 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏 （上の２回目は実際にはふらないけど「計算上」ふったとしておく、試行回数をそろえるため） すると全て１／４の確率で起こるため表が出る確率は３／４となります。 難しく考えすぎではなく起こる確率を同じと考えている点に誤りがあります。
お礼
御回答ありがとうございます。 >こういう問題ではたとえそこで勝負がついていても同じ回数を実行するように考えます。 なるほど。 実際に紙に書いては見たのですが、１回目に表が出た場合は次はトスする必要がないから、その後の事は考えないで良いのかどうか迷ってしまいました。 実際は１回目に表が出たら、次はトス必要はないので。 お陰様で、理解することができました。 丁寧な回答をありがとうございました。
- neKo_deux
- ベストアンサー率44% (5541/12319)
ＡＢＣＤさんがコインを投げるとして、 Ａ 表 Ｂ 表 Ｃ 裏表 Ｄ 裏裏 で3/4=75%のような考え方ではいかがでしょう？ -- #3のお礼での考え方を３人の場合に当てはめようとすると、 Ａ 表 Ｂ 裏表 Ｃ 裏裏 １回目のコイントスだけを見ると、裏が出る確率が2/3と大きくなっている点がおかしい事に気が付きませんか？ ┏表 ┃ ┗裏┬表 │ └裏 ━ = 2 ─ = 1 のように、場合の「重み」のようなものを考えてみてはどうでしょう？
お礼
御回答ありがとうございます。 「重み」ですか。 考えも付きませんでした。 今後の考え方の参考にしたいと思います。 丁寧な回答ありがとうございました。
- satosato16
- ベストアンサー率29% (40/134)
今の時点で出ている答えは３通り(５回) (１)1/2×1/2×1/2×1/2×1/2＝1/32 (２)1－1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 ＝1－1/32＝31/32 (３)１回＝1/2 ２回＝2/3 ３回＝3/4 ４回＝4/5 ５回＝5/6 だから 5/6 (１)は、１回目の時点で確立1/2あり、その後４回もチャンスがあるのに、確率が下がるっていることになります。ので不正解でしょう。 (２)が正解だと思います。 (３)を訂正すると、 １回目で表が出る確率＝1/2 ２回目で表が出る確率＝1/4 ３回目で表が出る確率＝1/8 ４回目で表が出る確率＝1/16 ５回目で表が出る確率＝1/32 の確立で表が出るので、 1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32 ＝16/32＋8/32＋4/32＋2/32＋1/32 ＝31/32 (２)と同じ答えになります。 No.2のmousengokeさんは、＃4でこれを言っているのだと思います。 Cuty_Catさんの考えは方は、間違えではありません。ただ、1回目、2回目・・・と順番に足してしまっただけのことで、考え方は、あっているのです。 根拠だけで考えず、式にしてみると、すぐ答えが出たと思いますよ。(３)を式にしようと頑張ったのですが、できませんでした・・・。 偉そうなこと言っているけど、間違っていたらごめんなさい。数学は得意だったのですが、なにせ時が経ちすぎているもので・・・。
お礼
御回答ありがとうございます。 １つ１つ解説して頂けたので、とても良く理解することができました。 ５回もチャレンジできるとすると、かなり確率も高くなるんですね。 約９７％とは、実際はほとんど５回の内に１回は表がでることが 理論上言えるのですね。 つまらない質問にも関わらず、丁寧な回答をして頂きありがとうございました。
- mousengoke
- ベストアンサー率50% (197/388)
No.2のmousengokeです。 先に投稿したときに不要の部分に表とか裏とか書き忘れましたが 1回目に表が出た場合その時点で勝利が決まっているので振る必要はありませんが、裏が出たときに2回振ることになるのなら1回目の表のときも2回目も振ったと考えた方がいいのです。 下の図での説明だと 1回目で ┏表(1/2) ┃ ┗裏(1/2) となり2回目で1回目の裏のときだけ再度振るので ┏表 (1/2) ┃ ┗裏┳表 (1/4) 1/2┃ ┗裏 (1/4) 末端でもそれが起こる確率は違うことになるのです。
お礼
お礼が遅くなって、すみません。 御回答ありがとうございます。 考え方を理解することができました。 丁寧な回答をありがとうございました。
- redcap
- ベストアンサー率42% (46/107)
はじめまして。書き込みさせていただきます。 ２回トスする場合、コインの裏表の出るパターンは (1)１回目に表が出る－２回目に表が出る。 (2)１回目に表が出る－２回目に裏が出る。 (3)１回目に裏が出る－２回目に表が出る。 (4)１回目に裏が出る－２回目に裏が出る。 の４つのパターンが考えられます。 １回でも表が出るのは、(1)、(2)、(3)のパターンなので確率は４分の３となります。 ３回トスする場合、コインの裏表の出るパターンは (1)１回目：表－２回目：表－３回目：－表 (2)１回目：表－２回目：表－３回目：－裏 (3)１回目：表－２回目：裏－３回目：－表 (4)１回目：表－２回目：裏－３回目：－裏 (5)１回目：裏－２回目：表－３回目：－表 (6)１回目：裏－２回目：表－３回目：－裏 (7)１回目：裏－２回目：裏－３回目：－表 (8)１回目：裏－２回目：裏－３回目：－裏 の８つのパターンが考えられます。 １回でも表が出るのは、全部が裏の(8)以外の７つのパターンなので確率は８分の７となります。 では、５回の場合は。 ２回投げた時は４つのパターン＝２×２＝４ ３回投げた時は８つのパターン＝２×２×２＝８ 【コインの裏表２面を投げた回数だけかけた】 と考えることができるので ５回投げた時は２×２×２×２×２＝３２のパターンがあると考えられます。３２のパターンのうち全部裏になるのは１つのパターンしかないと思われるので、１回でも表が出るパターンは３１。 確率は３２分の３１となると思います。 もし参考にしていただければ幸いです。
お礼
早速の御回答ありがとうございます。 ------------------------------------- (1)１回目に表が出る－２回目に表が出る。 (2)１回目に表が出る－２回目に裏が出る。 (3)１回目に裏が出る－２回目に表が出る。 (4)１回目に裏が出る－２回目に裏が出る。 の４つのパターンが考えられます。 １回でも表が出るのは、(1)、(2)、(3)のパターンなので確率は４分の３となります。 ------------------------------------- 上記についてですが、１回目が表であれば、２回目はトスしないので、１回目表、２回目表or裏というパターンはないと思うんです。 なので、１回目が表の場合２回目のトスで得られるパターンをカウントしないとすると、１回目が裏が出た時のみ、２回目のトスで得られるパターンをカウントするとどうでしょうか。 すると、２回目のトスが終わった時点で得られるパターンと言うのは、 １回目が表。 ２回目が表。 ２回目が裏。 上記３パターンとなり、表が出る確率は３分の２で約６６％とはならないのでしょうか？ 下の回答者の方の所に、図解で書いてみましたので、１度見てみて下さい。 どうも、完全理解とまでは行っていないです。 私の頭が固いからかな（ー＿ー；
- mousengoke
- ベストアンサー率50% (197/388)
確率aでおきることと確率bでおきることが同時におきる確率はa×bと積であらわせるのです。 ２回の内１回表が出る確率は 1回目で表が出る確率 1/2 1回目で裏が出て2回目で表が出る確率 1/2×1/2=1/4 これらを加えると 1/2+1/4=3/4 となります。 あるいは 2回とも裏の出る確率 1/2×1/2=1/4 少なくとも1回は表の出る確率は上記以外なので 1-1/4=3/4 回数が多くなればなるほど後者でやったほうが楽でしょう。 ちなみに2回の場合の起こることについて全て書き出すと 表 不要 表 不要 裏 表 裏 裏 となります。
お礼
早速の御回答ありがとうございます。 やっぱり単純に考えて、そのような計算になってしまうのかな。 私が難しく考え過ぎ？（＾＾； 私の考えですが、１回目は２分の１になるのですが、１回目で裏が出た場合は、自動的に２回目のチャレンジになるので、下記の通りになると思いました。 ┏表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏 上記の末端の数を数えると、１回目の「表」、２回目の「表」と「裏」となり、全部で３パターンあり、その内「表」は２回あるので、３分の２となり２回の内表が出る確率は約６６％と思ったのです。 同様に３回チャレンジすると ┏表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏 となり、末端の数は４つなり、そのうち「表」は３、「裏」が１となるので、表が出る確率は４分の３となり７５％と言う事になります。 これは末端の結果のみを見るからこのような確率になるのですが、やっぱり間違った考え方なのでしょうか。 もうちょっと考えてみます（ー＿ー）
- rafty
- ベストアンサー率0% (0/0)
２回チャンスがあるとすれば、「２回とも裏が出た」という結果以外が勝ちになるのですから、 「２回とも裏が出る確率」は、0.5*0.5＝0.25 よって、勝つ確率は 1ー0.25＝0.75 4回チャンスあれば、 1-0.5*0.5*0.5*0.5 が答えになると思います。
お礼
早速の御回答ありがとうございます。 やっぱり単純に考えて、そのような計算になってしまうのかな。 私が難しく考え過ぎ？（＾＾； 私の考えですが、１回目は２分の１になるのですが、１回目で裏が出た場合は、自動的に２回目のチャレンジになるので、下記の通りになると思いました。 ┏表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏 上記の末端の数を数えると、１回目の「表」、２回目の「表」と「裏」となり、全部で３パターンあり、その内「表」は２回あるので、３分の２となり２回の内表が出る確率は約６６％と思ったのです。 同様に３回チャレンジすると ┏表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏┳表 ┃ ┗裏 となり、末端の数は４つなり、そのうち「表」は３、「裏」が１となるので、表が出る確率は４分の３となり７５％と言う事になります。 これは末端の結果のみを見るからこのような確率になるのですが、やっぱり間違った考え方なのでしょうか。 もうちょっと考えてみます（ー＿ー）
お礼
御回答ありがとうございます。 >ここでは独立事象の和と積の法則を使っています。 なんか立派な法則があるみたいですね（＾＾； 初めて聞きました。 ちゃんと勉強していれば、習っていたことなのかな。。。 誰でも分かりそうな詰まらない質問に、丁寧に回答して頂きありがとうございました。 ポイントを掴んでいて、とてもよく理解することができました。 また何か質問させて頂きことがあるかもしれませんが、その時はまたよろしくお願いします。