確率の問題

質問

赤玉と白玉が入っている箱と、表の出る確率がｐ(0<p<1)である硬貨が1枚ある。

この硬貨を投げて表が出れば箱の中から赤玉を1個とりだし、
裏が出たら白玉を1個とりだす、という試行を行う。
ただし、取り出した球は元に戻さない。
今、赤玉3個、白玉3個入っている箱に対し、この試行を繰り返し、
箱の中から赤玉を全部とりだすか、白玉を全部取り出した時、
試行を終了するものとする。
試行がちょうどｎ回で終了する確率をpｎとし、s=p(1-p)とする。

（１）p3、p4をそれぞれｓを用いて表せ。

（２）終了までii行われる試行の回の期待値Eをｓを用いて表せ。

（３）（２）で求めた期待値Eの最大値とそれを与えるｐの値を求めよ。

確率が得意な方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.4

yyssaa

k回終了時の箱の中の赤玉の数がA(0≦A≦3)となる確率Pk(A)は、
Pk(A)=kC(3-A)p^(3-A)(1-p)^(k+A-3)
このときの箱の中の白玉の数B(0≦B≦3)は、(3-A)+(3-B)=kから
B=6-K-A、Pk(A,B=6-K-A)=kC(3-A)p^(3-A)(1-p)^(k+A-3)
試行がちょうどn回で終了するのは(n-1)回終了時の玉の数が
(ア)A=1かつB=2又は3、(イ)B=1かつA=2又は3、(ウ)A=B=1のいずれか
の場合である。よって、ちょうどn回で終了する確率pnは
pn=Pn-1(1,2)*p+Pn-1(1,3)*p+Pn-1(2,1)*(1-p)+Pn-1(3,1)*(1-p)
+Pn-1(1,1)・・・・・・(ア)
ここでPn-1(A,B=7-n-A)=n-1C(3-A)p^(3-A)(1-p)^(n+A-4)・・・・・(イ)
（１）p3、p4をそれぞれｓを用いて表せ。
n=3では(イ)よりA=1のときB=7-3-A=3、A=2のときB=2、A=3のときB=1
となり、(ア)はp3=P2(1,3)*p+P2(3,1)*(1-p)となる。(イ)より
P2(1,3)=2C2p^2(1-p)^0=p^2
P2(3,1)=2C0p^0(1-p)^2=(1-p)^2
よってp3=p^2*p+(1-p)^2*(1-p)=p^3+(1-p)^3=1-3p(1-p)=1-3s（答）
n=4では(イ)よりA=1でB=7-4-A=2、A=2でB=1、A=3でB=0となり、
(ア)はp4=P3(1,2)*p+P3(2,1)*(1-p)。(イ)より
P3(1,2)=3C2p^2(1-p)^1=3p^2(1-p)
P3(2,1)=3C1p^1(1-p)^2=3p(1-p)^2
よってp4=3p^2(1-p)*p+3p(1-p)^2*(1-p)=3p^3(1-p)+3p(1-p)^3
=3p(1-p){2p(p-1)+1}=3p(1-p){-2p(1-p)+1}=3s(1-2s)（答）
（２）終了までii行われる試行の回の期待値Eをｓを用いて表せ。
同様にn=5ではA=1でB=7-5-A=1、A=2でB=0となり、
(ア)はp5=P4(1,1)=4C2p^2(1-p)^2=6p^2(1-p)^2=6s^2
n=6、n=1、n=2はあり得ないので、以上より
E=3*(1-3s)+4*3s(1-2s)+5*6s^2=6s^2+3s+3（答）
（３）（２）で求めた期待値Eの最大値とそれを与えるｐの値を求めよ。
E/3=2s^2+s+1=2(s^2+s/2)+1=2(s+1/4)^2+7/8
Eはs=-1/4で極小となる下に凸な二次曲線。
s=-p(p-1)=-(p-1/2)^2+1/4
sはp=1/2で極大となる上に凸な二次曲線。
両曲線からp=1/2のときにsは最大でs=1/4、
そのときEも最大でE=6s^2+3s+3=6*(1/4)^2+3*(1/4)+3=33/8
よってEの最大値は33/8、p=1/2（答）

回答No.3

ereserve67

ANo.1です．求めた答えに訂正はありませんが，記述中の補足をします．

・{n choose r}というのはnCr（組み合わせ）のことです．

・（２）のところの
>p_5=P(4回までに赤2回，白2回)P(4回目に赤，白どちらでもよい)
ここの後ろ「P(4回目に・・・」はもちろん「P(5回目に・・・」のミスです．

回答No.2

Dr-Field

(1)p3とは、3回連続で表が出るか、もしくは3回連続で裏が出るかということであるから、求める確率はp^3+(1-p)^3＝1-3p+3p^2＝1-3(p-p^2)＝1-3sとなる。
p4は3回表＋1回裏、もしくは1回表+3回裏である。3回表+1回裏の場合、一回の裏は「○お○お○お」の○の部分にはいることになるから、3×(1-p)×p^3となる。また、1回表+3回裏はその逆になり、3×p×(1-p)^3となる。故に、p4＝3×(1-p)×p^3＋3×p×(1-p)^3＝・・・＝3s(1-2s)である。

(2)ところで、この問題の場合、p5までがMAXである。というのは、赤玉3つ白玉3つだから、5回の試行をすると必ず赤もしくは白が3つ全て出てしまうから。
赤3つ白2つの場合、(赤赤白白)－赤の出方となるが、
実際には、(赤赤白白)は、4P4/2*2＝6通りの並べ方がある。2*2で割っているのは、赤と赤に区別はなく、白と白に区別がないから。
6×p×p×(1-p)×(1-P)×p＝6p^3(1-p)^2
赤2つ白3つの場合、同様に6p^2(1-p)^3
故にp5＝6p^3(1-p)^2＋6p^2(1-p)^3＝・・・＝6p^2(1-p)^2＝6s^2

期待値E＝3×p3＋4×p4＋5×p5＝3×(1-3s)＋4×3s(1-2s)＋5×6s^2＝6s^2＋3s+3

(3)s=p(1-p)＝-(p-1/2)^2+1/4、0<p<1より、0＜s≦1/4(なお、sが最大値1/4の時はp=1/2)

E＝6s^2＋3s+3＝6(s+1/4)^2+21/8だから、0＜s≦1/4において、単調増加となるから、s＝1/4の時にEは最大値となり、その値は6*(1/4)^2+3*(1/4)+3＝33/8

回答No.1

ereserve67

（１）

p_3=P(赤，赤，赤)+P(白，白，白)

=p^3+(1-p)^3=p^3+1-3p+3p^2+p^3

=1-3p(1-p)=-3s+1（答）

p_4=P(3回までに赤2回，白1回)P(4回目に赤)+P(3回までに白2回，赤1回)P(4回目に白)

={3 choose 2}p^2(1-p)×p+{3 choose 2}(1-p)^2p×(1-p)

=3p^3(1-p)+3(1-p)^3p=3p(1-p){p^2+(1-p)^2}

=3s(2p^2-2p+1)=3s(1-2p(1-p))=3s(1-2s)

=-6s^2+3s（答）

（２）3回未満で終わることはなく，6回以上続くこともない．

p_5=P(4回までに赤2回，白2回)P(4回目に赤，白どちらでもよい)

={4 choose 2}p^2(1-p)^2×1=6p^2(1-p)^2

=6s^2

よって

E=3p_3+4p_4+5p_5

=3(-3s+1)+4(-6s^2+3s)+5(6s^2)

=6s^2+3s+3

ここで0<p<1より

s=-p^2+p=-(p-1/2)^2+1/4

∴0<s≦1/4

Eはsの単調増加関数であるからs=1/4すなわちp=1/2（答）のときEは最大値

E=6(1/4)^2+3(1/4)+3=3/8+3/4+3=(3+6+24)/8=33/8（答）