カードゲームにおける確率についての質問です。

質問

カードゲームにおける確率についての質問です。
30枚のカードの中に欲しいカードが3枚、30枚から10枚のカードを引いたとき、
その10枚の中に欲しいカードが1枚以上ある確率はいくつになるでしょうか。

解答、そして計算方法も教えていただけると助かります。

回答No.3

tadopikaQ

30枚のカードから10枚を引くパタンは、C[30,10] = 30!/(10!20!) 通りあります。

3枚のカードを1枚も引かない場合を考えます。
目当ての3枚以外のカード27枚から10枚引くパタンは、C[27,10] 通りです。
この確率は、P0 = C[27,10]/C[30,10] = (20*19*18)/(30*29*28) =57/203
よって、求める確率は、1-P0 = 146/203 となります。

因みに、10枚の中に、目当ての3枚のカードが1枚、2枚、3枚含まれる確率は、以下の通りです。

3枚のうち1枚だけが含まれる場合、
27枚から9枚引き、3枚から1枚引くパタンは、C[27,9]*C[3,1] 通りですから、
P1 = C[27,9]*C[3,1]/C[30,10] = 95/203 となります。

同様に、3枚のうち2枚が含まれる確率は、
P2 = C[27,8]*C[3,2]/C[30,10] = 45/203
又、3枚とも含まれる確率は、
P3 = C[27,7]*C[3,3]/C[30,10] = 6/203 です。

目当てのカードを引く枚数の期待値は、
Ex = 1*P1+2*P2+3*P3 = 95/203+90/203+18/203 =1 となります。
これは、単純に、3/30*10 と計算した値と一致しています。

又、全ての確率の和は1になるはずですが、
計算してみると、P0+P1+P2+P3 = (57+95+45+6)/203 = 1

回答No.2

noname#225612

1枚引いて、それが欲しいカードだった確率は、30分の3で10分の1になります
それを10枚引くんだから、10分の1×10で1です

回答No.1

noname#227653

そういうときは、ほしいカードを１枚も引かない確率を出して１から引けばいいのです。「ほしいカードを１枚も引かない」以外は「ほしいカードを少なくとも１枚は引く」ですからね。

１枚目のカードを引くとき、ほしくないカードを引く確率は27/30ですね。30枚のうち27枚がほしくないカードなのですから。
２枚目のカードを引くとき、ほしくないカードを引く確率は26/29ですね。１枚目に引いたカードを除くと、29枚のうち26枚がほしくないカードなのですから。
このように考え続けていくと、10枚目のカードを引くとき、ほしくないカードを引く確率は18/21ですね。
とすると、１枚目も２枚目も３枚目も、そしてそのまま10枚目までずっとほしくないカードを引き続ける確率は、27/30×26/29×25/28×…×18/21で求められることになりますね。
この答えを１から引けば、１枚以上は当たっている確率が求められますね。計算はご自分でなさって下さい。