重複試行の確率（反復試行の確率）

質問

高校数学I・Ａレベルの質問です。

【卓球の選手Ａ，Ｂが試合をすると、ＡがＢに勝つ確率は3/5である。ＡがＢと5試合行って、3勝2敗となる確率を求めよ。】

当該問題は、直ちに重複試行の確率（ただし、それぞれの試行は独立であると仮定する。）の問題であることが分かり、公式
　nCr*P^r*(1-P)^(n-r)
によって、
　5C3*(3/5)^3*(2/5)^2=216/625（……ア）
と機械的に求まります。
しかし、ここで疑問なのは、ＡがＢに勝つ確率が3/5ということは、5試合中3回勝つこと、すなわち、5試合行えば平均して3勝2敗することを意味している（試行回数が多ければ多いほどこの値に収束する）のだから
、重複試行の確率の公式なんか全く使わずに、
　【答】ＡがＢと試合をして3勝2敗となる確率は（単純に）3/5である。
としてはいけないのでしょうか。
ちなみに、3/5=375/625（……イ）
です。確かに、ア，イの値には差異があります。ア，イのそれぞれの値の意味も含めて、高１レベルでも分かるように最終的にア．が正しいことを説明して頂けますでしょうか。宜しくお願い致します。

回答No.4

pontiac_gp · ベストアンサー

[P1]
5試合を1セットとして、結果がA3-B2になったら1本旗を立てます。
nセット繰り返したときの旗の数はn×(216/625)に近づいていきます。

[P2]
1試合終わるたびにAが勝ったら1本旗を立てます。
n試合繰り返したときの旗の数はn×(3/5)に近づいていきます。

繰り返しますが、反復試行の確率は「n回反復したもの」を1単位として考えることが大切です。
というより確率全般に言えることですが、「何を1セットとしたときの何に対する何の割合を考えるのか」
を見失わないようにしてください。

なお、
>また、引いたくじを元に戻して100回反復試行を行った場合に1回あたる確率は、
>P2=100C1*(1/100)^1*(99/100)^99
>=(99/100)^99≒1

電卓で計算したら、0.99^99 は約37%の確率になります。
「ほとんど1」もバカにできないということですね。
毎日持ち金の1%を失うとすると99日後には元の4割未満になる。

お礼

pontiac_gp 様

更に詳しい解説を加えていただき、誠に有り難うございます。
取り急ぎ御礼させていただいた次第です。
時間があるときに再度補足を入れさせていただきたく存じますので、その節は何卒宜しくお願い致します。

回答No.7

koko_u_

>「これから言えるのは、勝利の確率が 216/625 だから 625試合すれば 625勝 216敗になる見込みが高そうだ。」
> ということになりますが、これは一体何意味しているのでしょうか（頭が悪くてすみません）。
> それから、216/625が“正しい確率”であるという根拠を説明して頂けますでしょうか。宜しくお願い致します。

無駄と知りつつ説明すると

A が B に勝つ確率が 3/5 というのは「5 試合中 3 勝することでもなく」「50000 試合中 30000 勝することでもありません」

大数の法則は「法則」であって確率の定義ではありません。

確率を高校生にもわかるように説明するのは難しいですが、勝負の天秤が最初 A に傾いていて、その度合いが 3/5 = 0.6 くらいという程度の意味です。

高校生の時に確率で覚える公式はありません。重要なのは「場合の数」と「事象の独立性」だけです。
全体の中で特定の出来事が発生しそうな割合いが確率だと思って下さい。

なので A が B に勝つ確率という場合「全体」とは「1 試合で A が B に勝つ」と「1 試合で B が A に勝つ」の 2 パターンだけです。

5 試合する場合は「全体」の内容は「5 試合で A が全勝する」「5 試合で A が 4 勝 1 敗する」「5 試合で A が 3 勝 2 敗する」「5 試合で A が 2 勝 3 敗する」「5 試合で A が 1 勝 4 敗する」「5 試合で A が 5 連敗する」の 6 パターンです。

全体の内容自体が変化していることに注意して下さい。

前者の A が B に勝つ確率が 3/5 と後者の 5 試合した時に 3 勝 2 敗となる確率を結び付けるのが「独立性」です。
つまり勝利の女神は毎試合ごとに勝負を決して、前回 A が勝ったから今度は B などと恣意的なことはしないとの前提を置くのです。
これも実際にそうであるということではなく「そういう前提を置く」ということです。

この前提があるからこそ、A と B の勝負の結果について、場合の数を数えれば確率が求まるという具合です。
公式は暇があったら「ふーん」と見ておく程度で結構です。

お礼

koko_u_ 様

私が理解できるようになるまで、何度もご丁寧に投稿して下さり、本当にどうもありがとうございます。
沢山の方々から投稿を頂いた内容を一度整理し、改めて補足（返事）をさせていただきたく存じますので、宜しくお願い致します。

回答No.6

age_momo

>ＡがＢに・・・・・5試合中3回勝つこと

これを前提にするならならば、5試合してAが3回勝つ確率は1(100%)です。
3/5という中途半端な数字が出てくる余地はありません。

確率を考える上で至極当然で外してはいけない法則を平たく言葉で書くと
『起こりうる全ての事柄の確率の総和は1になる』です。
今の場合はAの勝つ試合数0から5までの確率を全て足すと1になるはずです。
公式から計算した

243/3125,162/625,216/625,144/625,48/625,32/3125

全てを足すと1になります。(3/5+2/5)^5=1^5=1を展開した各項を
出しているのですから当たり前といえば当たり前なんですが。
(二項展開は習得済みでしょうか？今の高校生がいつどこを習うかは知りません。
まだならこれから習います。)
5試合でAが3勝する確率が3/5なら0,1,2,4,5勝する確率はいくつでしょう。
足して1になるような理屈がありますか？足して1を超えるのは
Aが3勝かつ5勝するなどということが起こるということ(?)ですし、
1より小さければ0-5勝以外の事が起こりうるということです。
変ですね。

>大学ではこれを「大数の法則」とか言う

大数の法則はよく誤解を受けます。

>事象Ａがr回起こったときの事象Ａの“相対度数”r/nは
>nを十分大きく取れば、ほぼ一定の値Ｐに近づいていく

正確に書いてあります。近づいていくのは『相対』度数です。
50000試合してAが勝つ試合数は相対的にはほぼ3/5に近づきます。
が、絶対的には外れていく確率が高いのです。これだけでは分かりにくい
でしょうから数字で示します。大体、95％ぐらいの確率で起こりうる範囲を書きます。
5試合　　1勝-5勝
500試合　　278勝-322勝
50000試合　　29780勝-30220勝
試合数が100倍になると起こりうる範囲が10倍になっているのが分かると思います。
(無論、この範囲外の事柄も起こりえますが、確率として5%以下です)
つまり、全体の数をn倍に増やすと起こりやすい範囲は√n倍になっていくのです。
割り算をすると(√n)/n=1/√nで相対的にはどんどん小さくなっていきますが、
絶対的に見ると試合数を増やすと起こりうる範囲が広がっていきます。
だから50000試合するとまるで30000勝に収束するような感覚は間違いです。
実際はどんどんここから外れていきます。(外れていく確率が高くなります)

以前、こういうことを回答に書くと
『いや、勝ちが続くと負ける確率が増えるよう神様が調整しているんだ。
私は神の法則を発見したんだ』
と宣った神学者がいました。少しトラウマです。(笑)

お礼

age_momo 様

お忙しい中、具体例を多用し、ご丁寧にご回答をして下さいまして誠に有り難うございます。
取り急ぎ御礼をさせていただいた次第です。
補足につきましては後日改めて記載させて頂きますので、宜しくお願いします。

回答No.5

zk43

あまり式を使わず、感覚的にいうと、5試合しての勝ち数の平均は3です
が、ちょうど3勝する確率は3/5ではないということでしょうか。
もっと多く試合して、たとえば、50000試合した場合は、勝ち数の平均
は30000ですが、ちょうど30000勝する確率は3/5ではない。
30000勝が平均なので、30000勝未満と、30000勝以上の確率がそれぞれ
大体50%になる。
大雑把にいうと、試合数を多くして行けば、平均を境に確率が大体
50%、50%になる。
試合数を多くしていった場合、3/5に近づくのは勝ち数の割合であっ
て（これが大数の法則）、平均値が実現される確率が3/5に近づくとい
うことではない。どちらかというと、平均値が実現される確率は１に
近づく。
つまり、大数の法則とは、少ない標本数では不確定性が高くても、
標本数を多くすればするほど、その集団全体で見れば、理論的な値が実
現される可能性が高くなるということです。

お礼

zk43 様

お忙しい中ご丁寧にご回答下さり、誠に有り難うございます。
取り急ぎ御礼をさせていただきたく存じます。
補足につきましては後日改めて記載させて頂きます。

回答No.3

koko_u_

>【ア，イのそれぞれの値の意味も含めて、高１レベルでも分かるように最終的にア．が正しいことを説明して頂きたい。】
もう一度だけ書きますが、そもそも（イ）は tomy2003 さんが独自に導いた「解答」なわけです。
それをどのように求めたか、その値の意味する所は何かは tomy2003 さんにしかわかりません。

>例えば試行を50000回、すなわち50000試合行えば30000試合は勝つということですよね？
おおよそ 30000 勝するという意味だとして、そこから「ＡがＢと試合をして3勝2敗となる確率は（単純に）3/5である。」
を tomy2003 さんがどのような筋立てで導いたかを補足して下さい。

お礼

あっ、間違えました。
「これから言えるのは、勝利の確率が 216/625 だから 625試合すれば 216勝 409敗になる見込みが高そうだ。」
です。すみません。

補足

koko_u_ 様

30000/50000=3/5
或いは、3/(3+2)=3/5
という単細胞的な筋道しかなくて恐縮なのですが・・・。

>「5試合行えば平均して3勝2敗することを意味している。」
>これから言えるのは、勝利の確率が 3/5 だから 5試合すれば 3勝 2敗になる見込みが高そうだ。
とお書き下さいましたが、この推論をア．に適用すると、
「これから言えるのは、勝利の確率が 216/625 だから 625試合すれば 625勝 216敗になる見込みが高そうだ。」
ということになりますが、これは一体何意味しているのでしょうか（頭が悪くてすみません）。
それから、216/625が“正しい確率”であるという根拠を説明して頂けますでしょうか。宜しくお願い致します。

回答No.2

pontiac_gp

P1:「5試合行って、Aの3勝2敗となる確率」
P2: 1試合行ってAが勝つ確率

それぞれの意味を落ち着いて考えてください。
P1は「5試合をワンセット」と考えてそれを何百・何千セット・・・
と繰り返したときに、
総試行回数（セット数）に占める該当事象の割合が収束する先です。
P2は1試合を1セットとするので、全く違う意味です。

頭の体操ですが、
「100本に1本当たりが入ったくじがある。引いたくじをもとに戻して反復試行を行うとき、
100回の試行で1回あたる確率はいくらか」
もちろん答えは1/100ではありませんよね。

補足

pontiac_gp 様

ご丁寧な回答、どうもありがとうございます。
上記P1とP2の違いが段々分かってきました。
ちなみに、100本のくじの中から1本の当たりくじを引く確率は
　P1=1/100
ですよね？
　また、引いたくじを元に戻して100回反復試行を行った場合に1回あたる確率は、
　P2=100C1*(1/100)^1*(99/100)^99
　　=(99/100)^99≒1
ってことですか？

回答No.1

koko_u_

>【答】ＡがＢと試合をして3勝2敗となる確率は（単純に）3/5である。
どう「単純に」なのかを補足してちょうだい。私にはその推論がわかりません。

>5試合行えば平均して3勝2敗することを意味している
これから言えるのは、勝利の確率が 3/5 だから 5試合すれば 3勝 2敗になる見込みが高そうだ。
くらいで、その見込み値が 3/5 とは推論できないように感じます。

お礼

koko_u_ 様

お忙しい中、早速のご回答ありがとうございます。

補足

koko_u_ 様
＜確率の定義＞
一般に、ある試行をn回繰り返したとき、事象Ａがr回起こったときの事象Ａの“相対度数”r/nは、nを十分大きく取れば、ほぼ一定の値Ｐに近づいていく（大学ではこれを「大数の法則」とか言うのかな？）。この一定の値Ｐを事象Ａの起こる確率といい、Ｐ（Ａ）という記号で表す。
つまり、確率Ｐ（Ａ）=3/5の場合、例えば試行を50000回、すなわち50000試合行えば30000試合は勝つということですよね？だから、その相対度数を分数で表したのが3/5なのではないですか？
といいますか・・・確率=相対度数=推論値なのでは？

私の質問したい内容は、
【ア，イのそれぞれの値の意味も含めて、高１レベルでも分かるように最終的にア．が正しいことを説明して頂きたい。】
ということです。宜しくお願い致します。