カードが全種類揃う確率

質問

あるゲームのことで気になったので、
シミュレートしたり考えたりしてみたのですが・・・

２０種類のカードがランダムに出現します。
同じカードは何枚でも出てきます。
そのカードをすべて受け取って、２０種類全部揃うのは、
何枚受け取った時点でどのくらいの確率になるのか？

という問題です。

プログラムを作ってシミュレートしてみると、
おおよそ６８枚目で５０％、１０５枚目で９０％・・・という結果が出たのですが・・・

数式で考えると、さっぱりわかりません。
２０枚目で全種類揃う確率は、
２０／２０ × １９／２０ × １８／２０ × ・・・・ ＝ ２０！／（２０＾２０）
というくらいは、なんとかわかった（と思う）のですが・・・

２１枚目以降で全種類揃う確率は、どういう数式になるでしょうか？

回答No.1

aiueo95240 · ベストアンサー

クーポンコレクター問題

n種類のクーポンをx枚買ったときはじめてn種類そろってコンプリートになる確率は、

n!S(x-1,n-1)/n^x

ただし、S(x-1,n-1)は第二種スターリング数