連立二次関数の解

質問

判別式√b-4ac が負の値になるときは実数解は存在しないんですよね。
でも虚数解になるので、虚数空間で解を表せますか。
今高校9年生で虚数を表すときには、値を座標を使い、表すと習いました。
ということは、二次関数を表すには、xy座標を使う、つまり2次元で表しますが
虚数を表すためにx、y、それぞれに虚数軸を加えると、2次元+1次元+1次元=4次元で視覚的には表せないということでしょうか。

解りにくい説明だとは思いますが、回答をお待ちしております。

回答No.2

178-tall

「判別式」が出てくるから、実係数の二次方程式の零点を「複素平面」にて表示したい、というハナシ？

　ax^2 + bx + c = 0　　　<　a≠0
　a{x + b/(2a)}^2 + {c - (b^2/4a)} = 0
　{x + b/(2a)}^2 = {(b^2 - 4ac)/a^2)} = D/(a^2)
と変形すれば、z = x + b/(2a) として、
　z^2 = D/(a^2)　　　…(1)

D < 0 の場合、(1) 式の右辺を「複素平面」で見ると、z^2 は実軸 (y=0) の負側にある (x = D/(a^2) < 0) 。
(1) 式を満たすの左辺 z = zo は、二乗して D/(a^2) < 0 になる複素数 ±i(1/a)*√|D| 、つまり虚軸 (x=0) 上の共役対。

z = x + b/(2a) だから、
　x = zo - b/(2a) = - b/(2a) ±i(1/a)*√|D|　　　< ±はひっくり返るが実効無し
すなわち zo = ±i(1/a)*√|D| の (純) 虚数を、実軸と平行に b/(2a) だけ負方向へ移動させた一対の複素数。

…みたいなハナシでしょうか。

補足

すみません。
判別式は二次方程式で実数解があるかどうかでした。
間違いでした。申し訳ございません。

聞きたかったのは二つ関数があって、それらの共通解が実数解にならずに、虚数解になるときに虚数平面でその解をグラフの交点として表せるか、ということです。
例を挙げれば、f(x)=x^2 とf(x)=-3 があって、これらの実数解はxyグラフを見てもわかるようにありません。
しかし、それらを虚数平面では、交点として解を現せますか、ということです。

僕が思ったのは、おっしゃるように、虚数平面ではひとつの値x+iyを座標として表しますよね。
そのときに実数ではひとつの値は数直線上で表せる(1次元)が、虚数平面では2次元で表す。
ということは、x,y,2つの値がそれぞれ虚数の値を持てるようにすると、
x-yグラフで2次元、x,y,2つの値がそれぞれの虚数軸を持つために1次元×2
それらを足し合わせると4次元なので、視覚的には表せるのかな、と疑問に思ったわけです。

わかりにくい説明、そして一部間違えてしまい、本当に申し訳ございません。
またの回答をお待ちしております。

回答No.1

info22_

複素数は複素平面z=x+iyで横軸に実数部x、縦軸に虚数部yをとってzを表示します。
xy座標平面の座標点(x,y)に対応させれば、複素平面の縦軸（虚軸）にy,複素平面の横軸（実軸）にxをプロットすれば、複素平面に複素数z=x+iyを表示できます。

たとえば
　２次方程式の解
　　X1,X2={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)
で判別式D=b^2-4ac＜0の場合は
　　X1,X2={-b±i√(-D)}/(2a) (ここで -D＞0、iは虚数単位、X1,X2は複素解)
これは、複素平面で　z1,z2=u+iv,u=-b/(2a),v=±√(-D)/(2a)として
　実軸（横軸）にu,虚軸（縦軸）にvをとってz1,z2を表示すれば良いです。
判別式D=b^2-4ac≧0の場合は
　　X1,X2={-b±√D}/(2a) (ここで D＞0、X1,X2は実数解)
これは、複素平面で　z1,z2=u+iv,u=(-b±√D)/(2a),v=0として
　実軸（横軸）にu,虚軸（縦軸）にv=0をとってz1,z2を表示すれば良いです。
なお、z1,z2は実軸（横軸）上にプロットされます。

補足

すみません。
判別式は二次方程式で実数解があるかどうかでした。
間違いでした。申し訳ございません。

聞きたかったのは二つ関数があって、それらの共通解が実数解にならずに、虚数解になるときに虚数平面でその解をグラフの交点として表せるか、ということです。
例を挙げれば、f(x)=x^2 とf(x)=-3 があって、これらの実数解はxyグラフを見てもわかるようにありません。
しかし、それらを虚数平面では、交点として解を現せますか、ということです。

僕が思ったのは、おっしゃるように、虚数平面ではひとつの値x+iyを座標として表しますよね。
そのときに実数ではひとつの値は数直線上で表せる(1次元)が、虚数平面では2次元で表す。
ということは、x,y,2つの値がそれぞれ虚数の値を持てるようにすると、
x-yグラフで2次元、x,y,2つの値がそれぞれの虚数軸を持つために1次元×2
それらを足し合わせると4次元なので、視覚的には表せるのかな、と疑問に思ったわけです。

わかりにくい説明、そして一部間違えてしまい、本当に申し訳ございません。
またの回答をお待ちしております。