解の存在条件

質問

x^2+y^2=1・・(1)，y=x+k・・(2)　実数解(x,y)が存在するためのkの値の範囲を
求めよ。
(1)に(2)を代入して、まとめると、2x^2+2kx+k^2-1=0 これが実数解をもつから、
判別式から、-√2=<k=<√2と解答にはあります。

実数解xは(1)の条件から、-1=<x=<1に存在しなければならないから、
判別式の条件に、、-1=<x=<1に存在するという条件を付け加えなければならないと
思うのですが、どうしてなくてもいいのでしょうか。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#3です。

A#3の補足について
疑問は
>2x^2+2kx+k^2-1=0…(A)
のグラフを描けば明らかです。
横軸にk,縦軸にxをとってこのグラフ（黒線の楕円になる）を描いて添付します。
このグラフのkの範囲：-√2≦k≦√2で xの範囲：-1≦x≦1 となります。
(A)を満たすxの実数条件（実数xの存在条件）としての判別式D≧0から導出した範囲がkの範囲：-√2≦k≦√2の範囲です。

>(A)を満たす実数解xは(1)を満たすので、当然(1)式のxの条件は含んでいますので、
>当然(1)式のxの条件は含んでいます。なので「-1=<x=<1」の条件は不要（冗長）です。
>上のことは
>実数解xが存在するとすると、それは「-1=<x=<1」に存在するということになるということですね。

(1)と(2)の式から導かれた(A)のグラフを見れば(1)の範囲の条件が含まれていることが明らかでしょう。

>それはx^2+y^2=1 の式が持っている条件としての「-1=<x=<1」を引き継いでいるから、
>存在するとしたら、「-1=<x=<1」ここにあるということになるのですか。
>くどい感じになりましたが、分かった気になっています。

グラフから納得できませんか？

お礼

何度も回答ありがとうございます
グラフをみれば-1=<x=<1の条件は必要ないことが一目瞭然で、納得できるのですが
グラフを用いないとどう解釈すればよいか疑問に思いました。

回答No.8

noname#149523

x^2+y^2=1・・(1)
y=x+k・・(2)
(1),(2)を満たす実数解(x,y)が存在する・・(3)
kの範囲は？である・・(4)

この問題は((1),(2)という前提のもとで)、(3)⇔(4)となるkの範囲を求めよ、という問題だと解釈できる。
(4)を、-√2≦k≦√2 とすれば
(3)⇔(4)なのでそれが答。

回答No.7

Tacosan

う～ん, 大丈夫なのかなぁ.... 正直私にはなぜそこまで -1≦x≦1 に固執するのか理解できないんだけど.... #2 にはこっそり, また #5 にはもっとはっきり書いたんだけど, この問題において「-1≦x≦1」というのは直接的な条件ではないですよね.
本当にぎりぎりのところまで言い出すと, 実は「判別式から」というところすら問題になるってわかってます?

回答No.6

stuff_ppo

定義域を「暗に含む」式を変形したとき、
定義域が「暗に含まれなくなる」なら、
変形後の式に別途定義域を明示してやる必要があります。

具体的な例をあげてみます。

y = √x のとき、x, yの定義域は x ≧ 0, y ≧ 0 ですが、
これを単純に辺々2乗してしまうと、
y^2 = x となり、y ≧ 0 が見えなくなってしまいます。

ですから、
y = √x
⇔ y^2 = x , y ≧ 0
と定義域を引き継いでやる必要があります。

今回の問題で、(2)式を代入したあとの式を見ると、
x^2 + (x+k)^2=1 … (3)
となり、|x|≦1 はまだ式の中に含まれています。
# x^2 + ○^2 = 1 と書けば分かりやすいですね。
ですから、これ以上式の外に「|x|≦1」と書いてやる必要は無いのです。

(3)式を経由せずに、いきなり展開した形を見ると、
確かに定義域をフォローしたくなりますね。
しかし、(3)式を見れば、それが不要なのが分かります。

回答No.5

Tacosan

問題の条件からいえば「x が -1≦x≦1 の範囲にあること」よりも「(x と) y が実数であること」の方が (同値だけど) 本質ではないでしょうか. そして, 後者の条件は (2) から (x が実数であれば) 自動的に成り立ちます.

お礼

回答ありがとうございます
xが実数解なら、それは-1=<x=<1であることが、(1)の式から
十分であるということだと理解しました。

回答No.3

info22_

>-1=<x=<1に存在するという条件を付け加えなければならないと
思うのです
>2x^2+2kx+k^2-1=0
を満たす実数解xと(2)に代入した得られるyの組(x,y)は(1)を満たすので、当然(1)式のx,yの条件は含んでいます。なので「-1=<x=<1」の条件は不要（冗長）です。

お礼

回答ありがとうございます。

2x^2+2kx+k^2-1=0
を満たす実数解xは(1)を満たすので、当然(1)式のxの条件は含んでいますので、当然(1)式のxの条件は含んでいます。なので「-1=<x=<1」の条件は不要（冗長）です。
上のことは
実数解xが存在するとすると、それは「-1=<x=<1」に存在するということになるということですね。
すなわち
それはx^2+y^2=1 の式が持っている条件としての「-1=<x=<1」を引き継いでいるから、存在するとしたら、「-1=<x=<1」ここにあるということになるのですか。
くどい感じになりましたが、分かった気になっています。

回答No.2

Tacosan

図形的に考えれば「その条件を加えるまでもなくそのようなものしか現れない」ことは一瞬で分かる.
丁寧にやるなら「x が実数なら (2) より y も実数」とでも言っておく.

お礼

回答ありがとうございます
実数解xが存在するとするとそれは円のグラフから－１と１の間に
なるのは、わかるのですが、グラフを使わないで、kの値をもとめていくとしたら
式変形のどこの段階で、「-1=<x=<1に存在する実数であるという条件」が必要ないと
判断できるのでしょうか。愚問であったら失礼。

回答No.1

mister_moonlight

簡単な事だろう。

k＝√2の時、2x^2+2kx+k^2-1=(√2*x＋1)＾2＝0より、x＝-1/√2となるから、｜x｜≦1が確認できる。
k＝-√2の場合も同じ。