２次方程式の解の公式

質問

こんばんは。ただいま新課程「数(2)」啓林館の高次方程式の「解の公式・判別式」の部分の学習指導案を書いています。単元設定の理由という部分がうまく書けません。「今までは実数の範囲で考えていたため２次方程式の解の公式ではｂ^2-4acが０以上の時実数解を持ちｂ^2-4acが０未満のとき実数解をもたなかった。今ここで複素数の範囲まで数を拡張するとｂ^2-4acが０未満のとき虚数解をもち，２次方程式は常に解を持つことを理解させる」また「判別式を用いると直接解を求めなくても解の種類がわかったり、２次関数とｘ軸の位置関係がわかることを理解させる」としましたがしっくりしません。アドバイス等をお願いします

回答No.4

stomachman

質問者様、No.3様 <はーい。stomachman、間違えまひた。

「虚数」は実数じゃない複素数のことですもんね、
「ｂ^2-4acが０未満のとき虚数解をもち」でオッケーなのでした。「純虚数」と取り違えました。どーもすいません　σ(^o~;

というだけではアレなので、もおちょっと考察を追加します。

　「虚数」の名前は聞いたことがあっても、まだ謎の概念であり、数学好きなら興味津々なのでしょう。でも、「虚数」って虚しい数と書く。数学嫌いにとってこれほど「意味のなさそうな、役に立ちそうにない、マニアックでただ訳の分からない、ヤな名前」のものはないかも知れません。ですから、複素数のワンダーランドのおもしろさを、なるべく早く垣間見せてあげたいと思います。

　一方、二次関数はいわば「もっとも易しい曲線」であり、解析と曲線図形の関係を見るのにこれほど良い材料もないですよね。逆に、二次関数のグラフに慣れ親しんでいると、虚数解がグラフ上のどこにも出てこないのでとまどってしまう人がいます。
　これを「グラフには出てこないからこそ、虚数なんだ」と突き放してしまったらもったいない気がします。パソコンを使って簡単に三次元のグラフが描けるのですから、
f(x)=a(x^2)+bx+c
の実部、虚部それぞれを複素平面上の三次元グラフとして描くことは容易です。さらに、
(f(x)の実部)=0
(f(x)の虚部)=0
の曲線を複素平面に描いて、その連立方程式としてf(x)=0を考える、という見方はいかがでしょうか。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=85003

回答No.3

noname#24477

「解の公式」も「判別式」も「２次関数のグラフ」も
数Ｉでやっています。ただ判別式という言葉は使っていなかったかもしれません。
　そうするとここでは複素数への拡張（と判別式）がポイントになるのだと思います。
　誰かにみせる指導案なのか、自分で確認したいための指導案なのかでも違ってくるかとは思います。
（確認用の指導案ではそこまでこだわらないかも知れませんね）
　また当然教える相手の生徒にもよるでしょう。
生徒によっては理解よりも実際に解が求められることが先だったりしますから。（単元設定からはちょっとずれるかも）

数を複素数まで拡張すると２次方程式は必ず解を持つ
（方程式を解くためには複素数まででよい）
これってすごいことですよね。
判別式だけでいろいろわかってしまうというのもすごいことですね。

なお虚数解は虚数解です。複素数解では実数解も含んでしまいますもんね。（下の回答へ）

回答No.2

stomachman

「単元設定の理由」を書くのは、多分、教える側の目標・目的意識を明確化するためなんでしょうね。

まず、
> ｂ^2-4acが０未満のとき虚数解をもち
ですけど、「虚数解」じゃなく「複素数解」ですよ。

　で、stomachmanが教えるとしたらですねー、

まず、判別式が負である二次方程式の形式的な解を表示し、これが解となるように数の概念を拡張することによって、複素数が必然的に導入される、という論理的関係を理解させる。
（複素数がここで初めて出てくるのなら、その四則演算と複素平面の概念を理解させ、習熟させる。）
実数の範囲では判別式は解があるかないかを判別するものであったが、複素数を導入したことによって、その意味が、解の種類を判別するものに変わる、ということを理解させる。
さらに、解と因数分解の関係を反省させた上で、複素数の導入によって二次式の因数分解が常に可能になることを理解させる。
最後に、N次方程式(N≧1)がN個の解を持つことを、因数分解を利用して概観させる。

てな感じです。え？新課程「数(2)」啓林館に全然沿ってない？ま、そりゃそうでしょう。見たことないから。けど…

回答No.1

mythism

新課程「数(2)」啓林館の高次方程式の「解の公式・判別式」が手元にないため，適切かどうか判りませんが，このような表現はいかがでしょうか？
なお，文中の（　）は，お好みで追加しても削除してもかまわないと思われる部分です．

「今までは解は実数の範囲でしか考えられていなかったため，（1元の）2次方程式では（解の公式より）b^2-4acが0以上の場合にのみ（実数）解が求められ，0未満の場合には（実数）解を求めることができなかった．この単元では，複素数の範囲まで解を考えることで，b^2-4acが0未満の場合にも虚数解（という解）を求めることができることと，（1元の)2次方程式は常に解を持つことを理解させる．」

この文のもとの文がしっくり来なかった理由としては，2文目の理解させる対象が実際には，「虚数解を持つこと」と，その結果として「常に解を持つこと」の2つであるにも関わらず，無造作にこれらを1つにまとめてしまったからだと思います．

「判別式を用いると，解を求めなくても，解の個数やその解が実数解であるのか虚数解であるのかを判定することができ，これを応用することで2次関数とx軸の交点の数がわかることを理解させる．」
ここでは判別式の役割が「解の個数と種類の判定」であり，＊それを応用すること＊で「2次関数とx軸の交点の数（位置関係）がわかる」という2つの理解のポイントの関係を明確にしてないことが，しっくりこないことの原因になっているのではないでしょうか？（先の文に比べると，元の文の違和感は少ないですが…．）

以上，何らかの参考になればと思います．