複素数の問題について

質問

複素数平面上でベクトルを複素数で表示する （ベクトルの始点を原点としたとき, 終点に対応する複素数によってベクトルを表す） とき、次の問いに答えてほしいです。よろしくお願いします。
(1) z, w ∈ C が垂直であるための必要十分条件
(2) z, w ∈ C \ {0} としたとき、0, z, w が同一直線上にあるための必要十分条件
(3) 複素数を利用してメネラウスの定理の証明

回答No.1

gamma1854

1), 2) は省略。
3) △ABCの重心を原点О、A(α),B(β),C(γ)とします。α+β+γ=0...(*)
また、３点R,Q,Pを示す複素数をそれぞれ、r, q, p とします。このとき、
AR:QC=s:(1-s), AQ:QC=t:(1-t), BP:PC=u:(1-u), (s,t,uは実数) と表され、
r=s*β+(1-s)*α, q=t*γ+(1-t)*α, r=u*γ+(1-u)*β...(**)
----------------
R,P,Qが同一直線上にあることから、r-p = l*(q-p), (l:実数) であり、
(*),(**)を使い表現すると、(少し計算がいりますが),
u=t(1-s)/(t-s)...(***)
を得ます。
(BP/PC)*(CQ/QA)*(AR/RB)=|u/(u-1)|*|(1-t)/t|*|s/(1-s)|
=|s(1-s)/{s(1-t)}|*|(1-t)/t|*|s/(1-s)|
=1.