複素数の問題でつまずいて困ってます！

質問

これらの問題の答えはどうなるんでしょうか？

問1 三乗すれば、ー１になる数を３つ求めよ。（x^3+１＝0の解）
問2 上記の解を複素平面上に図示しなさい。
問3 極座標表示ｚ＝ｒ・exp(iθ)で、３つの解を表わしなさい

できれば詳しい解説もお願いしたいです

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

問1
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=0
x+1=0 または　x^2-x+1=0
∴x=-1,(1+i√3)/2,(1-i√3)/2　←(答え)

問2
添付図のA,B,Cが３つの解

問3
z^3=-1=1*exp(iπ)=exp(iπ+i2nπ)=exp(iπ(2n+1)),nは整数
z=1*exp(iπ(2n+1)/3),nは整数
zが重複しない整数nはn=-1,0,1の3通りのみ
このnから n=-1,0,1を選んで
z=1*exp(-iπ/3),1*exp(iπ/3),1*exp(iπ) ←(答え)

お礼

ありがとうございます
グラフわかりやすかったです

回答No.2

spring135

z^3+１＝0

因数分解して

(z+1)(z^2-z+1)=0

1)

z+1＝0より

a)z=-1

z^2-z+1＝0より

b)z=(1+i√3)/2

c)z=(1-i√3)/2

2)上記の解を複素平面上に図示しなさい

中学生でもできる。

3)z=rexp(iθ)=rcosθ+irsinθ=x+iyとおくと

r=√(x^2+y^2)

θ=arctan(y/x)

a)z=-1=rcosθ+irsinθ

x=-1, y=0

r=√(x^2+y^2)=1, θ=arctan(y/x)=0,±π,±2π,±3π...＝nπ(n=0,±整数）

b)z=(1+i√3)/2=rcosθ+irsinθ

x=1/2, y=√3/2

r=√(x^2+y^2)=1, θ=arctan(y/x)=arctan(√3)=π/3+2nπ(n=0,±整数）または

　　　　　　　　　θ=arctan(y/x)=arctan(√3)=π/3+π+2nπ(n=0,±整数）　

c)z=(1-i√3)/2=rcosθ+irsinθ　　　　　　　　

x=1/2, y=-√3/2

r=√(x^2+y^2)=1, θ=arctan(y/x)=arctan(-√3)=-π/3+2nπ(n=0,±整数）または

　　　　　　　　　θ=arctan(y/x)=arctan(-√3)=-π/3-π+2nπ(n=0,±整数）

整理すると

r=1, θ＝π/3,π,-π/3　+2nπ(n=0,±整数）

つまりZは複素平面上の単位円の上にあって偏角はπ/3から始まって2π/3づつ右回りまたは左回りに進んだたもの

お礼

わかりやすかったです
ありがとうございました