数学の問題です。

質問

Z=a+jb の[a,b]が複素平面上で

acosθ+bsinθ=r の直線上を変化するとき

Y=1/Z=x+jy　の軌跡を求めよという

問いを出されたのですが答えがわかりません。
どのような計算方法で求めるのかをお願いします。

回答No.8

IveQA · ベストアンサー

＞計算ミスをしていましたね、半径は1/2rですね
正解！

＞x=0、y=0として表した方が良かったようですね、座標は間違ってませんよね?
OKです！　

＞r=0のとき
＞y=tan(90-θ)と表されるようなので実軸とのなす角度は90-θとなるのでしょうか
xは書き忘れかな？
それを除けばOKです！
やりましたね！

お礼

長らくお付き合いいただきありがとうございました。
r=0のときのxは書き忘れです。

回答No.7

IveQA

だいぶいい線まで来たね！
少しケアレスミスや表現の仕方で苦労しているところが見えるけど、言おうとしてることは分かるよ。

＞r≠0のとき
＞(x-cosθ/2r)^2+(y+sinθ/2r)^2=1/2r^2　となったので
＞この式は(cosθ/2r　-sinθ/2r)を中心とした半径 1/√2r　の円
＞重要な点とはa=0、b=0のそれぞれの点なのでしょうか？
＞a=0のとき(0 0) もしくは(0 -1/rsinθ)　b=0のとき(0 0)もしくは(-1/rcosθ 0)
＞どの点が重要なのかが分からないですが・・・

r≠0のときの図形が円になるのはOK！
ケアレスミスは円の半径。本当に1/(√2 r)？
重要な点（特に図示する上で）はその通り！　複素平面上の原点！
ただa,bはZの実部、虚部だし、いま考えている複素平面上の点はY=x+jyに移っているからa,bを使わないで表した方がいい。
いろいろな書き方があるけど、例えばこんな風に書いてみたら。

≪中心がcosθ/(2r)-jsinθ/(2r)（またはexp(-jθ)/(2r)）で半径□の原点を通る円 (x-cosθ/2r)^2+(y+sinθ/2r)^2=□^2≫
（複素平面上なので点は複素数で表した方がいい）

＞r=0のとき
＞y=x/tanθ　となったので
＞この直線とa軸のなす角度がtan^-1(x/y)
＞でしょうか

原点を通る直線になることはOK！
ただtan^-1(x/y)はθのことを表したいんだと思うけど、a軸（実軸）とのなす角は本当にθ？
書き方としては例えばこんなのはどう？

≪実軸となす角が+○で原点を通る直線　xcosθ-ysinθ=0≫
（前回はヒントの意味でy=○xと書いたけど厳密にはθ=0,πなどsinθ=0となることがあるのでAx+By+C=0の形で書いた方がいい）

あとここからは反転の本質から外れてくるから読み飛ばしてもらってもいいんだけど
厳密なことを言うと円の方程式を求めるときr≠0ではx^2+y^2≠0となることを使ったはず。
実際acosθ+bsinθ=rを通ってx=y=0とするようなa,bは存在しない。
だから図形は原点を通る円だけど“ただし原点は除く”ことになる。
直線の方でも同じことが言える。
実は問題にY=1/ZとあるからZ≠0（a,bは同時に0にならない）が条件に付け足されてx=y=0にはならない。
だからこれもちょっとおかしな表現だけど、原点を通る直線（ただし原点は除外）ということになる。

最後に反転についての参考情報。
図形で反転変換を言う場合はOP・OP'=r^2（3点O,P,P'は同一直線上にある）ことを意味するけど
この問題のように複素平面上の反転変換Y=1/Zでは、原点、変換前の点Z、変換後の点Yが同一直線上に乗らないという違いがあることに注意！
よければ参考に。
http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/reverse.html
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/hanten/hanten.htm

お礼

計算ミスをしていましたね、半径は1/2rですね
x=0、y=0として表した方が良かったようですね、座標は間違ってませんよね?

r=0のとき
y=tan(90-θ)と表されるようなので実軸とのなす角度は90-θとなるのでしょうか

回答No.6

IveQA

＃４がヒントというかほぼ答えになっているんだけど・・・
＃２の途中式を使わせてもらうと
xcosθ-ysinθ=r(x^2+y^2)　　　　☆
ここまでは自分でも導けたんだよね？
この式をとりあえずr≠0だと思って両辺をrで割ってx^2+y^2-□x+△y=0の形にして変形してみると
あるとってもシンプルな２次曲線の式（(x-a)^2+(x-b)^2=c^2という形）になるよね？
これってどんな図形？
（解答には中心や半径、そしてある重要な点も通るからそのことも書いてね）
そしてもしr=0のときは☆の右辺は０だからy=○xの形にできるよね。
これって何の式？
（この図形とある軸とのなす角度や、これもある重要な点を通るからそのことも書いてね）
これらが見えるって言ったグラフ。
rで場合分けの意味も伝わってくれたかな？

お礼

r≠0のとき
(x-cosθ/2r)^2+(y+sinθ/2r)^2=1/2r^2　となったので

この式は(cosθ/2r　-sinθ/2r)を中心とした半径 1/√2r　の円
重要な点とはa=0、b=0のそれぞれの点なのでしょうか？
a=0のとき(0 0) もしくは(0 -1/rsinθ)　b=0のとき(0 0)もしくは(-1/rcosθ 0)
どの点が重要なのかが分からないですが・・・

r=0のとき
y=x/tanθ　となったので

この直線とa軸のなす角度がtan^-1(x/y)
でしょうか

考えましたが間違ってる点が多々あると思いますのでよろしくお願いします。

回答No.5

IveQA

mister_moonlightさんの#4はいい回答だね。
見ている人のレベルをアップさせてくれる。
視野が広がるね。

回答No.4

mister_moonlight

これは、数ある変換の中で　“反転”と呼ばれる変換。
反転について詳しく知りたいなら“反転”で検索すると、沢山出てくる。

ＯＺ・ＯＹ＝1　の形の反転について、次の事が知られている。
(1)　原点を通る直線は、直線に変換される。本問で、r＝0　の時。
(2)　原点を通らない直線は、円に返還される。本問で、r≠0　の時。
(3)　原点を通る円は、直線に変換される。
(4)　原点を通らない円は、円に変換される。

最近では、反転の問題も入試で頻出になってるようだから、これらを覚えておいて損はない。

お礼

ありがとうございます、早速調べます。

回答No.3

IveQA

＞R=cos(φ+θ)/r
＞これは蝸牛線をΘ回転したものです。
質問者に罠を掛けているのならともかく、わざわざ極座標にして蝸牛線を持ち出さなくてもシンプルなものがあるでしょ。
それにr=0のときどうするの？
極座標にしなくてもグラフは見えるけどな～

お礼

極座標にしなくてもグラフは見えるのですか、どのようなグラフになるのでしょうか？

回答No.2

spring135

>Z=a+jb ,Y=1/Z=x+jy　

Y=1/(a+jb)=(a-jb)/(a^2+b^2)

x=a/(a^2+b^2), y=-b/(a^2+b^2)

x^2+y^2=1/(a^2+b^2)

x=a(x^2+y^2), y=-b(x^2+y^2)

a=x/(x^2+y^2), b=-y/(x^2+y^2)

acosθ+bsinθ=rへ代入

xcosθ-ysinθ=r(x^2+y^2)

このままではグラフが見えないので

極座標(R,φ)表示する。

x=Rcosφ, y=Rsinφ

cosφcosθ-sinφsinθ=rR

R=cos(φ+θ)/r

これは蝸牛線をΘ回転したものです。

お礼

詳しい計算過程ありがとうございます。

回答No.1

IveQA

Z=1/Yだからa,bをx,yで表せるよね。
それを直線の式に代入。
あとはrで場合分け。

お礼

回答ありがとうございます　どう場合分けするのかが分からないのでもっと考えてみようと思います。