ｅｘｐ（ｚ）について

質問

はじめまして、次の問題の解き方がまったくわかりません。なにをどうしていいのかもわからないので解き方、方針を教えてください。
（１）ζ≠０∈Ｃに対し、exp（ｚ）＝ζをみたす複素数ｚをすべて求めよ。
（２）f(z)＝exp(z)としたとき、2直線Re(Z)＝ａ，　　　Im（z）=bのｆによる像を書け。（考え方をお願いします。）さらに長方形の閉領域ａ≦Re(z)≦ｂ，ｃ≦Im(z)≦ｄのｆによる像を図示せよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#108554 · ベストアンサー

>（１）についてですが、exp(z)=e^x(cos(y)+isin(y))と
>書けますから、それがζ=a+ibと等しいとして、
>連立方程式 e^x*cos(y)=a, e^x*sin(y)=bとして
>これを解けばいいのでしょうか？

そうです。

>（２）については、自分なりに考えたんですが、
>答えは半径e^a、中心Oの円ではないでしょうか？

そうです。

>しかし、Im(z)=ｂのときは、同様にやればいいのでしょうか？
>z=x+ib（ｘ∈R）で、f(z)=e^z=exp(x+ib)=e^x(cox(b)+isin(b))で、
>これは原点からの角度ｂへの半直線と考えたらいいのでしょうか？

そうです。ただし、原点は含まれないことに注意しましょう。
長方形の場合もそんな感じです。(出来てそうなのでそんな真剣には見てませんけど。)

結局、だいたい分かっているようですが、
どこが分からなかったんでしょう??

回答No.1

noname#108554

(1)まず、z=a+ib(a,bは実数)とすると、
exp(z)=c+id(c,dは実数)の形で書けますが、
c,dをa,bを使って表現できますか?
(2)直線Re(Z)＝ａ上の点は、xを実数として
a+ixの形で書けます。これをfで写せばよいわけです。

お礼

ありがとうございます。
（１）についてですが、exp(z)=e^x(cos(y)+isin(y))と書けますから、それがζ=a+ibと等しいとして、連立方程式e^x*cos(y)=a, e^x*sin(y)=bとしてこれを解けばいいのでしょうか？そして最後に、a,bをζで書き表すということで。Re(ζ)＝ａ、Im(ζ)＝ｂ、|ζ|＝√(a^2+b^2)というように。
（２）については、自分なりに考えたんですが、答えは半径e^a、中心Oの円ではないでしょうか？しかし、Im(z)=ｂのときは、同様にやればいいのでしょうか？z=x+ib（ｘ∈R）で、f(z)=e^z=exp(x+ib)=e^x(cox(b)+isin(b))で、これは原点からの角度ｂへの半直線と考えたらいいのでしょうか？
最後に、長方形領域の場合は、周期が２πだから、０≦Im(z)＜２πとして考えて、結果的には、ａ≦Ｒｅ(z)≦ｂ、　０＜ｃ≦Im(z)≦ｄ＜２πだから、最初の不等式で、中心Oの半径e^bの円から中心Oの半径e^aの円をくりぬいたやつが出てきて、次に、半直線で角度がｃからｄまでの範囲全部が出てくるから、結局その共通部分が答えになるんでしょうか？
長々とすみません。一生懸命考えたつもりです。よろしくお願いします。