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複素解析学の問題を教えていただきたいです。

複素解析学の問題を教えていただきたいです、 キーボードだと入力しにくいので画像にしました。どうかよろしくお願いいたします。

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  • Ae610
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回答No.1

f(z) = (e^(iz) - 1)/z^2・・・を考え、積分路を半径Rで上半平面を反時計方向に沿う半円CR、 実軸(-R,-r]および[r,R)、原点の上半平面側を時計方向に半径rに沿った円Crに取る。 コーシー積分定理により {∫(CR) + ∫[-R,-r] + ∫(Cr) + ∫[r,R]}{(e^(iz) - 1)/z^2}dz = 0 第2項目と4項目の積分を足してまとめると -∫[r,R]{4・sin^2(x/2)/x^2}dx・・・(1) となる。 第1項目の積分路における積分はR→∞のとき→0になる。 第3項目の積分路における積分はその留数を求めると-πi・Res(0)で求められる。 Res(e^(iz) - 1)/z^2;z=0)= iだから 第3項目の積分 = -πi^2 = π (1)の積分でx/2 = tと置いて変数変換した後tをxに戻し、r→0 , R→∞にとれば ∫[0→∞]{(sin(x)/x)^2}dx = π/2

kyapppu
質問者

お礼

ありがとうございました!本当にいくら感謝してもしきれません。