複素解析（最大値の原理？）

質問

複素解析
f(z)をn次多項式とするとき曲線　C＝{z;|f(z)|=k}　の連結成分は高々n個であることを示せ。という問題がわかりません。多分最大値の原理とかの話だと思うのですが。お願いします。

回答No.1

kabaokaba

なかなか反応がつかないので。。。

＞多分最大値の原理とかの話だと思うのですが。お願いします。

どうして最大値の原理だと思うのですか？
そこがポイントだと思うのです．

で・・・
あなたのうけてる講義とかで使ってる教科書とかに
何かでてませんか？
先生に聞いてみたりしました？

あなたの予備知識が不明なのですが，
これは代数学の基本定理とルーシェの定理（から導出される定理群）の
合わせ技じゃないかな．
まじめに証明しようとするとしんどいかもしれません．
アウトラインは書けるけど，素で厳密に書けといわれると
かけません(^^;;

直観的にはこの事実は「当たり前」です．
正則関数fと複素数w0に対して
f(z)-w0がz0をk位の零点として持つ場合，
w0からちょっとでもずれた値w1をとると
f(z)-w1はz0の近傍でk個の1位の零点をもつのです．
つまり「k位の零点」が「ばらばら」になるのです．
ということは，fがn次多項式の場合，
最大でもn個の解しかないわけで，仮に
|f(z)|=k，つまり，f(z)=ke^{iθ}が重解をもってても，
ちょっとでもずらす（この場合，θをずらす）と
ばらばらに分かれるのです．
どうあがいてもn個以上にはばらばらに分かれません．

幾何的にはn次多項式は，n重の分岐被覆を持つことという
ように表現されます．「アールフォルスの教科書」とか
複素解析幾何の本，たとえば「グリフィス・ハリス」とか，
複素代数幾何の本，
たとえば「堀川さんの本」とか「小平・スペンサー」とか
「岩波基礎数学の小平本シリーズ」とか
そのあたりを物色するとヒントがあるかもしれません．