複素解析の問題でわからないものがあります

質問

複素解析の問題でわからないものがあります
できたら教えていただきたいです

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

スゴい図面で読みきれませんが、単位円上 [|z| = 1, i.e. z = e^(iθ)] で考えるのでしょうね。

まず右辺の分子は、
　(1 - z^m) = {1 - cos(mθ)} - i*sin(mθ)
　= 2*{sin(mθ/2)}^2 - 2i*sin(mθ/2)cos(mθ/2)
　= -2i*{sin(mθ/2)}e^(imθ/2)
同様に右辺の分母は、
　(1 - z) = = -2i*{sin(θ/2)}e^(iθ/2)
つまり、右辺 = e^{i(m-1)θ/2}{sin(mθ/2)}/{sin(θ/2)}

あとは、左辺と右辺を等置、ですかね。

お礼

ありがとうございます！
とても参考になりました！

回答No.1

muturajcp

z=e^{iθ}
Σ_{k=0～n}z^k=(1-z^{n+1})/(1-z)
Σ_{k=0～n}e^{ikθ}=(1-e^{i(n+1)θ})/(1-e^{iθ})
=(1-e^{i(n+1)θ})(1-e^{-iθ})/{(1-e^{iθ})(1-e^{-iθ})}
=(1-e^{i(n+1)θ}-e^{-iθ}+e^{inθ})/(2-e^{iθ}-e^{-iθ})
=(e^{-iθ/2}-e^{i(2n+1)θ/2})(e^{iθ/2}-e^{-iθ/2})/{-(e^{iθ/2}-e^{-iθ/2})^2}
=(e^{-iθ/2}-e^{i(2n+1)θ/2})/(e^{-iθ/2}-e^{iθ/2})
=(e^{-i(n+1)θ/2}-e^{i(n+1)θ/2})e^{inθ/2}/(e^{-iθ/2}-e^{iθ/2})
=sin{(n+1)θ/2}e^{inθ/2}/sin(θ/2)
=sin{(n+1)θ/2}{cos(nθ/2)+isin(nθ/2)}/sin(θ/2)
∴
Σ_{k=0～n}cos(kθ)=sin{(n+1)θ/2}cos(nθ/2)/sin(θ/2)
Σ_{k=0～n}sin(kθ)=sin{(n+1)θ/2}sin(nθ/2)/sin(θ/2)