微分方程式

質問

こんにちは＾＾
微分方程式の問題でつまづいています。

m(d^2x/dt^2)=-kx^3
初期条件：ｔ＝０のときｘ＝０、ｖ＝U

という方程式なんですがどこから手をつけたらよいのか見当もつきません。

ｘ＝Asin（wt+δ)

とおいたりしてみたのですが、どうにもｘ＾３というのがやっかいです汗

一般解の導き方を教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

一般解が面倒臭い式にのるのは、
任意定数が複雑な入り方をしているから。
関数自体は、ただのレムニスケート関数で
単純な形をしている。
積分する際、不定積分せずに
毎回 0～t で定積分をすれば、
積分定数は順次整理できてゆく。
一回目の積分で A_0 = (m/2)u^2 と判るから、
変数分離したとき
u dt = dx/√{ 1 - (k/(2mu^2))x^4 } となる。
z = Gx, G = (k/(2mu^2))^(1/4) で置換すれば
Gu dt = dz/√( 1 - z^4 ) と書けて、
レムニスケート関数 sL の定義により、
sL(Gut) = z すなわち x = (1/G) sL(Gut)..

お礼

むむむ。なかなか難しい・・・
これは工学部でも一般的にできなければならない問題なのだろうか・・・

とにもかくにも大変丁寧なご回答ありがとうございました＾＾

回答No.3

alice_44

A No.1 の方法で…
mx'' = -kx^3　に x' を掛けて m(x'')(x') = -k(x^3)(x').
これを積分して、(m/2)(x')^2 = (-k/4)(x^4) + A_0.
よって、±x' = √(A - Bx^4),　B = k/(2m) と判る。これは
変数分離形であり、±t + C = ∫dx/√(A - Bx^4) と解ける。
±t + C = (A^(-3/4))(B^(-1/4))∫dz/√(1 - z^4),　z = x (B/A)^(1/4)
と係数を括り出せるから、レム二スケート関数 sL を用いて
x = ((A/B)^(1/4)) sL( (A^(3/4))(B^(1/4))(±t + C) ).
A, C は初期値で決まる定数。B は上記の定数。
A, C の値を U の式で表すのは、メンドクサイので勘弁。

お礼

丁寧に解説していただきありがとうございます＾＾
レニムスケート関数の部分までは理解できたのですがレニムスケートでつまづいてしまいました＾＾；
ｘを導く積分がなかなか大変ですねorz

結局ｖを求めて初期条件から積分定数を求め、そこからｘについての式とｖについての式を求めることで良しとすることにしました＾＾；

回答No.2

Knotopolog

私にも，手計算では，解けませんでしたので，
インターネット上のコンピュータ・ソフト

"Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine"

http://www.wolframalpha.com/

で，調べてみました．上記のソフトで，

m(d^2x/dt^2)+kx^3=0

または，

(d^2x/dt^2)+(k/m)x^3=0

と入力して，〓 ボタンを押すと出力（解）が得られます．
例えば，以下の通りです．

(m^2 x(t)^2 (2 c_1-(k x(t)^4)/m) (2-(k x(t)^4)/(c_1 m)) _2 F_1(1/4, 1/2;5/4;(k x(t)^4)/(2 m c_1))^2)/(2 c_1 m-k x(t)^4)^2 = (c_2+t)^2
Mathematica plaintext input:
DSolve[{(k x[t]^3)/m + x''[t] == 0}, x[t], t]
Mathematica plaintext output:
(m^2 Hypergeometric2F1[1/4, 1/2, 5/4, (k x[t]^4)/(2 m Subscript[c, 1])]^2 x[t]^2 (2 Subscript[c, 1] - (k x[t]^4)/m) (2 - (k x[t]^4)/(m Subscript[c, 1])))/(2 m Subscript[c, 1] - k x[t]^4)^2 == (t + Subscript[c, 2])^2

初等関数では，解は得られないようです．

Hypergeometric Function ;「超幾何関数」などが出てきます．

以上，ご参考になりますでしょうか？

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/

お礼

こんな便利なソフトがあるのですねΣ
さっそく使ってみましたが、どうやらこの問題はかなりえげつない感じですね＾＾；

これを手計算するのは至難の業そう・・・
ありがとうございました＾＾

回答No.1

Tacosan

なんか前にも見たような....

とりあえず v を掛けて時間積分したらどうだろう. 解ける保証はしないが.

お礼

返事が遅くなってしまい大変申し訳ありません；；
ｖを掛けて時間積分する方法でなんとか解くことができました＾＾

補足

すみません、先日物理学の方でも質問させていただいた者です＾＾；
あのあとTacosanさんの回答やほかの回答を参考に四苦八苦してみたのですが・・・
改めて数学板に質問させていただいた次第です。

ｖを掛けるというのは

(d^3x/dt^3)+(k/m)x^3(dx/dt)=0

にするということでしょうか？無知で申し訳ありません；；