微分方程式・・・。

質問

問題はｄｔ/dx=x^2 , x(0)=a
この微分方程式の解x(t)が任意の時刻t>0までに存在するまでの初期値aの満たすべき条件を求めよ。
という問題です。オイラー法を使ってやるのかなってとこぐらいまでしかわかりません・・。dx/dt=f(t,x)とx(to)=xo から先に進みません。
アドバイスいただけませんか。

回答No.2

aquarius_hiro

こんにちは。

ANo.1さんのご回答のように、dt/dxでは、無条件になりそうです。
∫dt=∫x^2dx=x^3 + C
故に、x^3 = t - C
初期条件より、C = -a^3
故に、x^3 = t + a^3
これは右辺がどんな値でもxを求めることができますので、
aは無条件になりますよね。

もしかしたら、dx/dt = x^2 の誤植でしょうか。

そうだとして回答してみますね。

dx/dt = x^2 より、∫dx/x^2 = ∫dt
故に、-1/x = t + C
x(0)=aより、C = -1/a
故に、x(t) = -1/(t+C) = -1/(t-1/a)
この関数は t=1/a で発散していますね。
解が任意の t>0 で存在するには、1/a≦0 でなければなりません。
従って、a<0 が条件ですね。

お礼

そのとおりです。間違いでした。質問している立場で申し訳ありません。とてもいい回答ありがとうございます。

回答No.1

noname#101087

実関数を想定して視算すると、t は x の三次式になりそうです。
それでは a が無条件でよいことになります。

x^2 は x の自乗ですよね。

お礼

ありがとうございました！！ｘの二乗です。