極限

質問

|a|<1のときlim(n→∞） n(a)＾n=0を示す問題で
まず
a=0のとき成り立つのがわかるのですがどのように求めて考えるのかがわかりません

はさみうちの定理と二項定理をつかうそうですがよくわかりません。
お願いします。
aには絶対値がついてるから
範囲は-1≦a≦1とは思うけどわかりません

回答No.5

masa072

No.3です。
＞どうしてそのような形にするのでしょうか？
ヒントに二項定理を用いるとありますね。
二項定理の基本は、
(1+x)^n=Σ(k=0からn)nCk(x^k)です。
なので、(1+x)^nとなるような形を出したかったからです。
また、|a|<1より、a>0のとき、a=1/1+b(b>0)と置けます。
a=1/1+bとおける理由は、分子＜分母であるからで、bの値の設定次第で0<a<1の数を表せるからです。
（分からなければbにいろんな値を入れてみましょう）

また、
(1+b)^n=nC0+nC1*b+nC2*b^2+nC3*b^3+…+nCn*b^n
で、b>0より、nC0、nC1*b、nC2*b^2、nC3*b^3、…、nCn*b^nは全て正です。
なので、(1+b)^n-n/1+b+nC2*b^2=nC3*b^3+…+nCn*b^n>0
よって、(1+b)^n＞n/1+b+nC2*b^2となり、
1/(1+b)^n＜1/(n/1+b+nC2*b^2)となります。

極限は、分子分母とも多項式であれば、分母・分子とも無限大にもっていく文字の係数を比較して、
分母＞分子：０に収束
分母＝分子：０以外の数に収束
分母＜分子：∞か－∞に発散
です。
証明の際は、最高係数が分母＝分子ならば最高係数の文字で、それ以外は小さいほうの係数で割ります。

一度手で計算してください。
わからなかったら各定理を復習しながらやりましょう。
この問題はa=1/1+b(b>0)と置くのが難しいですね。
これは経験がものをいう問題ですね。問題をたくさんやればこのような置き方の発想が持てるでしょう。

目安は、学校の問題集＋チャート（黄色）完全制覇です！

回答No.4

tarame

|a|＜1 より　1/|a|＞1 だから
1/|a|＝1+h（h＞0）とおきます。
二項定理より
(1+h)^n＝1+nＣ1h+nＣ2h^2+…+h^n＞nＣ2h^2　だから
1/|a|^n＝(1+h)^n＞(1/2)n(n-1)h^2＞0
∴　0≦|a|^n＜2/{n(n-1)h^2}
∴　0≦n*|a|^n＜2/{(n-1)h^2}

lim[n→∞]2/{(n-1)h^2}＝0　だから
はさみうちの定理より
lim[n→∞]|n*a^n|＝lim[n→∞]n*|a|^n＝0
∴　lim[n→∞]n*a^n＝0

回答No.3

masa072

お待たせしました。
0<a<1のとき、a=1/1+b(b>0)と置けます。
すると、二項定理より、
(1+b)^n=1+b+nC2*b^2+nC3*b^3+…＜1+b+nC2*b^2
が言えます。
よって、
n*a^n＝n/(1+b)^n＜n/1+b+nC2*b^2→0（n→∞）
以上より、lim(n→∞)n*a^n=0

-1<a<0のとき、a=-1/1+b(b>0)と置けます。
よって、
n*a^n＝(-1)^n*n/(1+b)^n＜(-1)^n*n/1+b+nC2*b^2→0（n→∞）
※指数部分は振動するので、収束性には影響ありません。

a=0は自明

以上になります。このままでは分かりづらいと思うので、一度紙に写されたほうがいいと思います。

補足

ごめんなさい
まだよくわかりせん
極限もまだ少ししか理解ができなくて。。。
少しずつ教えてもらってもいいですか？
まずは二項定理まで
参考書もa=1/(1＋h)とおくと書いてあるのですがどうしてそのような形にするのでしょうか？
そしてh>0だと
（1＋h)＾n >nC2 *(h)＾2 =((n(n-1))/2)*h＾2が成り立つとこのような形になるのですか？

そして
それから
0<n*(a)＾n =n/(1＋h)＾x <2n/(n(n-1)h＾2)
＝2/((n-1)ｈ＾2)
とあらわされるのかわかりません
そしてなぜ
lim(n→∞)n*(a)＾n ＝０となるのかわかりません
質問ばかりですいません

回答No.2

shkwta

証明をかんがえてみましたが、はさみうちの定理と二項定理をどこで使うかはわかりません。
まず、|a|<1とは、-1<a<1のことです。
|a|<1ですから、|a|<|b|<1となるbが存在します。このとき|a|/|b|<1です。
lim[N→∞](N/(N+1))=1ですから、N≧M ⇒|a|/|b|<N/(N+1)となる正の整数Mが存在します。したがって、N≧MとなるNについて、
|(N+1)a^(N+1)|=|((N+1)a/N)Na^N|<|b|Na^N
|b|<1ですから、lim[N→∞]Na^N = 0 となります。

回答No.1

masa072

ちょっとこれだけでは問題がわからないのですが…
n(a)＾nというのは、aのn乗にnをかけたものですか？

補足

すいません
問題は
|a|<1のときlim(n→∞） n＊（a＾n) =0を示す問題です
これで大丈夫ですか？