極限

質問

①lim〔x→0〕√(1+x)-(1+1/2x-1/8x^2)/x^3＝？

②lim〔x→0〕tanx-sinx/x^4｛log(x^2+x^3)-logx^2｝＝？ ③lim〔n→∞〕1/n〔1/sin1/n〕

➃lim〔n→∞］1/nlog｛n/n•n+2/n•n+4/n•••••3n-1/n｝

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

※どこまでが分数の区切りか、分かりづらいところがありましたので、恣意的に解釈しています。表記に気を配るか、もしくはもとの問題をそのまま画像添付するかの工夫をお願いいたします

①
[ √(1+x) - { 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 } ] / x^3
= [ (1 + x) - { 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 }^2 ]
÷ ( x^3 [ √(1+x) + { 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 } ] )
（分子の有理化と呼ばれる変形）
= [ (1 + x) - { 1 + x - (1/8)x^3 + (1/64)x^4 } ]
÷ ( x^3 [ √(1+x) + { 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 } ] )
= { -(1/8) x^3 + (1/64)x^4 }
÷ ( x^3 [ √(1+x) + { 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 } ] )
= { -(1/8) + (1/64)x } ÷ [ √(1+x) + { 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 } ]
(x→0)
→ (1/8) / (√1 + 1) = 1/16 …答

②
{ (tanx - sinx) / x^4 } * { log (x^2 + x^3) - log x^2 }
= [ { (sinx / cosx) - sinx } / x^4 ] * log { (x^2 + x^3) / x^2 }
= { ( sinx - sinx cosx ) / x^4 cosx } * log (1 + x)
= [ { sinx (1 - cosx) / x^4 cosx ] * log (1 + x)
= (sinx / x) * { (1 - cosx) / x^2 } * ( 1 / cosx ) *{ log (1 + x) / x }
(x→0)
→ 1 * (1/2) * (1/1) * 1 = 1/2 …答

③
(1 / n) * { 1 / sin (1/n) }
(1/n = x と置き換えると、n→∞ のとき x→+0)
= x * (1 / sinx)
= x / sinx
(x→+0)
→ 1 …答

④
(1 / n) * log [ (n / n) * { (n + 2) / n } * { (n + 4) / n } * … * { (3n - 1) / n } ]
…という式に解釈しましたが、logの真数部分の分子が
n , n+2 , n+4 , … , 3n-1
と並んでいるためその規則性がわかりません。公差2の等差数列なら最後は 3n で終わりそうな気がします。
やり方は区分求積法です。