極限を計算する

質問

ｌim{n→∞}(1-(3/(5n)))^(4n)

この関数の極限を求めたいのですが
ネイピアの定理を用いるのかな？程度でしかわかりません。

例題にはこのような問題はなく、解き方に困っています。
答えだけでなく、解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

よく知られた極限　lim[n→∞](1+1/n)^n = e　から、

[1] 　 lim[n→∞](1-1/n)^n = 1/e

が導けることに注意しましょう（添付図参照）。

n = 3m/5と置けば、

　　lim[n→∞](1-3/(5n))^(4n)

　　=　lim[m→∞]((1-1/m)^m)^(12/5)

　　=　(lim[m→∞] (1-1/m)^m))^(12/5)

　　=　(1/e)^(12/5)　　（[1]式より）

　　≒　0.0907

となります。

お礼

なるほど・・・
n = 3m/5と置いて解くのですね。

わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.2

Knotopolog

回答者 ANo.1 さんのご回答で正解です．

因みに，下記の数式を解析するソフト（wolframalpha），

Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/

を起動し，

lim[n to infinity](1-(3/(5n)))^(4n)

と入力して，〓 をクリックすると，

lim{n→±∞}(1-(3/(5n)))^(4n)＝1/exp(12/5)≒0.090718

が得られます．その他，「グラフ」，「n＝1, 2, 3, 4, 5 の数値解」，「無限級数展開式」などの資料が得られます．

質問者さんのご参考になる記述があるかも知れません．是非，試してみて下さい．

お礼

すごいソフトがあるのですね。
グラフも１つではないし、他にも多くの記述が出力されるのですね。
びっくりしました。

色々試してみたいと思います。
ありがとうございました。