数学の問題です。解法をお願いします

質問

「x>0,y>0で y^(log_2(x))=4となるx*y^2のとりうる範囲を求めよ」という問題の解き方が分かりません。どなたかお教え願います。答えは 0<x*y^2≦1/16 ,x*y^2≧16 です

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

さすがに指数に対数があると気持ち悪いのでまずは両辺の対数をとりましょう。
2を底とする対数が出てきていますので、両辺の2を底とする対数をとりましょう。
(以降、対数の底を省略する。底はすべて2である)

log(y^(log(x))=log4
(log(x))(log(y))=2

次にx*y^2=kとおき、上の式のxまたはyのいずれかを消去します。ここでは簡単そうだからxを消去します。
x=k/y^2
これを代入すると
{log(k)-2log(y)}*log(y)=2 (☆)
となります。
(☆)式をよく見るとlog(y)についての2次方程式になっているのが分かるでしょうか。
y>0の条件しかありませんから、log(y)は任意の実数値をとることができます。
つまり、kに求められる条件は、(☆)式をlog(y)の2次方程式としてみたときそれが実数解をもつと言うことです。

お礼

回答ありがとうございます。
二次方程式を作って、それが実数解を持つ。という視点が抜けていたようです。
なんで抜けてたのか自分でも不思議というか阿呆さ加減に嫌気が差すというか。。。
解説ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

y^(log_2(x))=4 の対数（底は２）をとると（以下、底は省略します）
logx・logy=2
ここでlogx=X、logy=YとするとXY=2であり、y=2/X　です。・・・（１）
x*y^2　の対数（底は２）をとると
logx+2logy=X+2Y
となり、これに（１）を代入すると
X+4/X
この式の値は
X+4/X＜＝-4、4<＝X+4/X
なので、元のx*y^2=2^（X+4/X)の値は
0<x*y^2≦1/16 ,x*y^2≧16
となります。

お礼

回答ありがとうございました。遅くなってすみません＞＜
X,Y　で置き換えてあって分かりやすく、非常に参考になりました。
最後の「この式の値は～」で　＋４と－４がどこから来たのかちょっと分からなくてベストアンサーはNo.2の方に付けましたが、考え方が分かって助かりました。