数学の問題です。

質問

log[x]y-log[y]x^3-2<0をyについて解け。

全然わからないので
詳しく教えてください。
お願いします。

回答No.4

178-tall

場合わけが未熟。

>t = LN(y) > 0 (y > 1) の場合。
>　t^2/LN(x) - 2*t - 3*LN(x) < 0
>LN(x) = a と略記して、
>　(t^2)/a - 2*t - 3*a < 0
>　(1/a)*(t+a)(t-3a) < 0
>a < 0 (x < 1) → t = LN(y) > 3*a = 3*LN(x) → y > x^3
>a > 0 (x > 1) → -a < t = LN(y) < 3*a → 1/x < y < x^3

t = LN(y) > 0 (y > 1) の場合。…と断っているのだから、

a > 0 (x > 1) → 0 < t = LN(y) < 3*a → 1 < y < x^3

なのでしょうね。

回答No.3

178-tall

>log[x]y-log[y]x^3-2<0をyについて解け。

x=X, y=Y だったのか。
後腐れ無きよう、底統一方式 [自然対数 LN(　) ] で…。

log_x(y) = u として、y = x^u = e^{u*LN(x)} なので、LN(y) = u*LN(x) 、つまり u = LN(y)/LN(x) 。
log_y(x^3) = 3*log_y(x) = w として、x = y^(w/3) = e^{(w/3)*LN(y)} なので、LN(x) = (w/3)*LN(y) 、つまり w = 3*LN(x)/LN(y) 。

これを元の式、
　u - w < 2
へ入れて、
　LN(y)/LN(x) - 3*LN(x)/LN(y) - 2 < 0

t = LN(y) > 0 (y > 1) の場合。
　t^2/LN(x) - 2*t - 3*LN(x) < 0
LN(x) = a と略記して、
　(t^2)/a - 2*t - 3*a < 0
　(1/a)*(t+a)(t-3a) < 0
a < 0 (x < 1) → t = LN(y) > 3*a = 3*LN(x) → y > x^3
a > 0 (x > 1) → -a < t = LN(y) < 3*a → 1/x < y < x^3

LN(y) の正負が逆なら不等号を反転、かな？
フォローしてみて。

回答No.2

ereserve67

log[x]y-log[y]x^3-2<0

底と真数の条件より，x>0,y>0,x≠1,y≠1．底の変換公式よりlog[y]x=1/log[x]yだから

log[x]y-3/log[x]y-2<0

両辺に(log[x]y)^2>0をかけると，

(log[x]y){(log[x]y)^2-3-2log[x]y}<0
log[x]y(log[x]y+1)(log[x]y-3)<0

log[x]y=tとおくと

(t+1)t(t-3)<0

ｆ（ｔ）=(t+1)t(t-3)のグラフ（N字型）を考えて

t<-1,0<t<3

log[x]y<log[x](1/x),log[x]1<log[x]y<log[x]x^3

0<x<1のとき：y>1/xまたは1>y>x^3

x>1のとき：y<1/xまたは1<y<x^3

回答No.1

bgm38489

底の変換公式。log[y]xを底をxとして分数形式にし、全体を分母倍して、対数―対数は公式に基づいてくっつけて…