・微分の問題

質問

log2Ｙ＝1＋log2X…(1)(2:底)
2^Ｙ＝5×2^X－４…(2)
(1)(2)を同時に満たすX,Yの値を求めよ。

この問題の答えの導き方を
教えてください。
答えは(X,Y)＝(2,4)です。
お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)から
log[2]Y=log[2]2+log[2]X=log[2](2X)
∴Y=2X (>0) …(3)

(3)を(2)に代入
2^(2X)=5*2^X-4

2^X=z (>1)とおくと
z^2=5z-4
z^2-5z+4=0
(z-4)(z-1)=0
z>1なので
z=4=2^X
X=log[2]4=2 …(A)
(3)から
Y=4…(B)
(A),(B)から　∴(X,Y)=(2,4

お礼

ありがとうございます！
理解できました(^O^)

回答No.2

noname#154783

(1)より
2^(log_2 Y) = 2^(1 + log_2 X)
Y = 2X…(1)'

これを(2)に代入すると，
2^(2X) = 5・2^X - 4.

ここで
Z = 2^X

と置いて整理すると，
Z^2 - 5Z - 4 = 0
(Z - 1)(Z - 4) = 0
Z = 1 または 4.

(1)式における真数条件よりX > 0であり，したがってZ = 2^X > 1であるから，Z = 1は不適．
∴Z = 4

X = log_2 Z = log_2 4 = 2.

これを(1)'に代入して
Y = 2X = 4.

以上より
(X,Y) = (2,4).
これは確かに(1)，(2)を満たす．

お礼

ありがとうございます！
理解できました(^O^)

回答No.1

noname#181872

式(1)をいじって、左辺、右辺ともにlog_2 ○=log_2 × の形に変形してみてください。
するとXとYについて、logがはずれた簡単な関係式にできますよね。
これを式(2)に代入してください。
このとき、2^X=tとか別の変数にすると解きやすくなるかな。

お礼

ありがとうございます！