常微分方程式の問題

質問

常微分方程式の教科書の問題で、
xy'=x+y　（y/x=v）
の解き方がさっぱりわかりません。教科書を参考にして自分で解いてみたり、友達に聞いたりしてみましたがサッパリでした。どなたか教えてもらえないでしょうか。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

（y/x=v）
と書いているのは解き方のヒントではないですか？

y=xv
y'=v+xv'
これを元の式に代入すれば、簡単な微分方程式になります。

お礼

遅くなってしまいましたが、ご回答ありがとうございました。
ご指摘の通りに計算したら、問題を解くことができました。
自分の勉強不足を痛感しました。また質問する機会がありましたが、今後ともよろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

同次形微分方程式 y' = 1 + y/x ですから、
同次形の定石どおり v = y/x で置換すれば、
v についての変数分離形微分方程式になります。

それだけだと、暗記物で終わってしまうので、
少し素朴に考えてみましょう。

xy' - y = x と移項して、左辺を積の微分形に
変形できないか考えてみます。
両辺に何か掛けて、左辺が fy' + f'y に
なったとすると、f'/f = -1/x ですから、
xf' + f = 0 を解いて xf = (定数)。
ここでは、f = 1/x を採用してみます。
xy' - y = x の両辺に -f' を掛けて
fy' + f'y = 1/x. これを積分して、
y/x = (log ±x) + (定数) です。

お礼

遅くなりましたが、ご回答ありがとうございます。
回答内容の考え方がすごく参考になりました。
また質問する機会がありましたら、またよろしくお願いします。

回答No.2

info22_

xy'=x+y …(1)
y=x*v …(2) とおくと
y'=v+x*v'
与微分方程式に代入すれば
x(v+x*v')=x+x*v
x^2*v'=x
x(x*v'-1)=0

x=0の場合
　(1)に代入すると　y=0 …(2)

x≠0の場合
x*v'-1=0
v'=1/x
dv=1/x dx
v=ln|x| +C
(2)から
y/x=ln|x|+C
y=x*ln|x| +Cx …(3)

２つの場合をまとめたのが解。

お礼

遅くなりましたが、ご回答ありがとうございました。
詳しい解説も書いていただいて本当に感謝しています。
また質問する機会がありましたら、またよろしくお願いします。