常微分方程式についての質問です。

質問

常微分方程式についての質問です。
y=xy’+(1/y’)の一般解及び特異解が存在すればそれを求めよ。という問題の解き方がわからず、困っています。どなたか解ける方、解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

y'を両辺に乗じた後、xで微分
(yy')'={x(y')^2+1}'
yy"+(y')^2=(y')^2+2xy'y"

y"≠0の場合,y"で両辺を除して整理
y=2xy'=2xdy/dx
dx/x=2dy/y
∴log(x)+log(C0)=2log(y)
∴y=c√x
元の微分方程式に代入すると、
c√x=c/2・√x+2/c√x
∴c=±2
∴y=±2√x

y"=0の場合、y=ax+b。これを元の微分方程式に代入、
ax+b=ax+1/a
∴b=1/a
∴y=ax+1/a

以上から、解はy=ax+1/a、±2√x