微分方程式の問題です。

質問

1,微分方程式x^2y''-xy'+y=xを解きなさい。
2,aは定数とする。微分方程式(x^2+y^2-a)yy'+x(x^2+y^2+a)を解きなさい。
の解き方と過程を教えてください。

回答No.2

gamma1854

※まとまりがなく失礼しました。以下のように書き換えます。
1. x^2*y"-x*y'+y=0 ... (*) の１つの解が y=x であることがわかり(y=x^mとしてm=1を得る)、もう１つの独立した解は、
y=x*u(x) として計算すると、u=log(x), すなわち、(*)の一般解は、
y=A*x + B*x*log(x).
となります。
ここから元方程式の一般解を求めるには「定数変化法」を用いるという流れです。

回答No.1

gamma1854

1. まず、x^2*y" - x*y'+y = 0 ...(*) を考えます。
y=x が１つの解であることがわかるので、一般解を y=x*u(x) とおき代入して、
x^2*u" + x*u' = 1.
なる線形方程式を得ます。(u の項がなく、１階方程式として扱える)
u' = v などとおき１階方程式として、
v(x)={log|x|+C}/x
を得ます。これから、
u(x)=(1/2)*(log|x|)^2+C*log|x|+D
となり結局、
y=(x/2)*(log|x|)^2 + Ax*log|x| + Bx.
が(*)の一般解となります。
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この斉次方程式の解から元方程式の解を求める一般的な方法は「定数変化法」です。
それはどのテキストにも詳説してあります。
2. 方程式になっていません。