固有値の求める順番？

質問

３×３行列Aについて
A=
|0 1 1|
|1 0 1|
|1 1 0|
を対角化せよという問題で
まず
Φa(t)=
|-t 1 1|
|1 -t 1|
|1 1 -t|
より固有値はλ=-1(重解),2
となります。
このあとなのですが、固有ベクトルを求めるときにどちらから先に求めればいいのでしょうか？

実は先にλ=-1の固有ベクトルを求めると
A+E=
|-1 1 1|
|1 -1 1|
|1 1 1|
=
|1 1 1|
|0 0 0|
|0 0 0|
α,β(≠0)として
x=αt[-1 1 0] + βt[-1 0 1]（tは転置行列を表しています。）
同様にλ=2のときにはγ（≠0）として
x=γt[1 1 1]
以上から固有空間は
V(-1) = {αt[-1 1 0]}+{βt[-1 0 1]}
V(2) = {γt[1 1 1]}
dimV(-1) + dimV(2) = 3であるから対角化可能で
固有ベクトルを列にもつ行列をPとして
P=
|-1 -1 1|
|1 0 1|
|0 1 1|
しかし答えには先に固有値λ=2の固有ベクトル先に求めて
x = αt[1 1 1]
x = βt[-1 1 0] + γt[-1 0 1]
として対角化を
P=
|1 -1 -1|
|1 1 0|
|1 0 1|
となっているのですが、自分の求めた方法では答えは間違っているのでしょうか？
固有空間から対角化するプロセスが間違っているのでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「固有ベクトルをならべる順序」と「対角化したあとの (対角線上の) 固有値の順序」が一致します.
今の場合, あなたの求めた P と答えにある P は順序が違うだけですから, 他に条件がなければあなたの答えでも正しいということになります.

補足

ということは、求めた固有値の解の順序は関係なくて
λ=2の固有ベクトルを先にもとめてもよいということでしょうか？