固有値 一次独立

質問

代数学の本に
（定理）
n次正方行列Aが対角化可能であるための必要十分条件は、Aのｎ個の固有ベクトルX（１）、X（２）、・・・、X（ｎ）で１次独立なものが存在することである。
このとき、P＝（X（１）、X（２）、・・・、X（ｎ））とすると、Pは正則で
P＾－１AP＝｜ｔ（１）　　　　　　　｜
　　　　　　 　｜　　　　ｔ（２）　　　｜
　　　　　　　 ｜　　　　　　　ｔ（ｎ）｜
ｔi(i=12・・ｎ)はAの固有値
xi(i=12・・・n)はtiに対する固有ベクトル

とが書いてありますが

　どのようなことをいっているのでしょうか？
また、固有値の時の一次独立とはどのようなことをさすのでしょうか？

最後に固有値とは、ｔを媒介変数として、連立方程式の解を行列によって導き出すと考えていいのでしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

教科書をしっかり読み直してください。

で済ませてしまったらミもフタもなく
ここの存在そのものが意味がなくなってしまうので
（ちょっと大げさか）

２次の場合について考えて見ましょう。

ＡＸ＝ｔＸ

を満たすｔが固有値（スカラー）、Ｘは列ベクトル
成分で書くと　（２×２型と思ってみてください。）
（ａ，ｂ）（ｘ）　　　（ｘ）
（ｃ，ｄ）（ｙ）＝　ｔ（ｙ）

（ａ、ｂ）（ｘ）　　（ｔ、０）（ｘ）
（ｃ、ｄ）（ｙ）＝　（０、ｔ）（ｙ）

（ａ－ｔ，　ｂ）（ｘ）　　（０）
（　ｃ　，ｄ－ｔ）（ｙ）＝（０）
ｘ，ｙが０，０でなければ行列には逆行列が無く

（a-t)(d-t)-bc=0
ｔについての２次方程式だから解は２つあります。
それに対応する列ベクトルＸも２つあります。

これが固有値と固有ベクトルです。
固有値が異なれば固有ベクトルは１次独立で・・・

やっぱりここで簡単に説明できるようなことではないです。教科書をしっかり読みましょう。

ベクトルの１次独立は大事な概念です。
索引で調べて読み直してください。

お礼

ありがとうございました、幾何ベクトルの一次独立,
一次従属は本当に大事ですね、０と０以外として
解決できました。また、固有値ベクトルから行列の対角化
やA＾ｎを求めることができました。

補足

ありがとうございました、
　一次独立と一次従属がごっちゃになってました。
いまは、きちんと理解できた。（と思います。このベクトルは１次独立か判定せよ。などの問題が解けるようにななりました。）

　そこで固有値の２行２列の形は理解できたのですが、３行３列での固有値をもとめるときの因数分解（くくり出し）が上手くできません、また、「１次独立な３つの固有ベクトルを選ぶ」というあわせ技が理解できません。

　大変恐縮ですが教えていただければ幸いです。

回答No.2

jmh

> どのようなことをいっているのでしょうか？
>
直感的な意味ですか？
平面で…、
「横を半分に縦を２倍にする線型変換」と言ったら通じますか？
これは、次の行列のことです。
（1/2　0
　0　　2）
それでは、ｕを２倍にｖを半分にする線型変換の基底を (ｕ, ｖ) とするときの行列表示は何になりますか？

お礼

ありがとうございました、基底からやり直すことで、問題が解決しました。