数学固有ベクトルなどについて教えてください

質問

固有ベクトルなどについてです(>_<
A=【-4 -2 -1 】
【 6 1 -2 】
【 -6 4 7 】 ,

E3=【1 0 0 】
【0 1 0】
【0 0 1】

で、【←の線はぜんぶまっすぐな線です、繋がってるやつです。分かりにくくてすみません(;_;)

(1)｜A-xE3｜ を行列式の性質を用いて求めよという問題です。

(2)Aの固有値を全て求めよっていう問題です。

(3)Aの固有ベクトルを求めよっていう問題です。

(4)適当な正則行列PでAを対角化する。
Pと対角化した結果を求めよっていう問題です。

(5)Pの余因子を求めよっていう問題です。

(6)｜P｜ の余因子展開を求めよっていう問題です。

(7)Pの-1乗を求めよっていう問題です。

(8)Aのn乗を求めよっていう問題です。

よろしくお願い致します…お願いします…

回答No.2

info22_

問題の丸投げしないでください。
解答は質問者さんが作るものです。
出来るところまでの解答の途中計算を補足に書いて、行き詰まって分からない箇所だけ質問するようにしてください。

A=【-4 -2 -1 】
【 6 1 -2 】
【 -6 4 7 】 ,

E3=【1 0 0 】
【0 1 0】
【0 0 1】

(1)
｜A-tE3｜
を行列式の性質を用いて求めよ。

xは列ベクトルとして使うので紛らわしいから
xの代わりにtを使います。

tを固有値とすると
A-tE3=
【-4-t, -2, -1 】
【 6, 1-t, -2 】
【 -6, 4 , 7-t】
行列式の計算の仕方は教科書に載っていますから分からなければ教科書を復習してください。
|A-tE3|=
| -4-t, -2, -1 |
| 6, 1-t, -2 |
| -6, 4 , 7-t |
=
| -4-t, -2, -1 |
| 6, 1-t, -2 |
| 0, 5-t,5-t |
=(t-5)*
| 4+t, 2 , 1 |
| 6, 1-t,-2 |
| 0, 1 , 1 |
=(t-5)*
| 4+t, 0 ,-1 |
| 6, 3-t, 0 |
| 0, 1 , 1 |
=(t-5)*
| 4+t, 0 ,-1 |
| 6, 3-t,t-3|
| 0, 1 , 0 |
=(t-5)*(-1)((4+t)*(t-3)+6)
=-(t-5)(t^2+t-6)
=-(t-5)(t-2)(t+3)　... (答え)

(2)
>Aの固有値を全て求めよっていう問題です。
(1)の（答え）より
-(t-5)(t-2)(t+3)=0
t=-3,5,2　...(答え)

以上を踏まえて(3)以降をやってみてください。
行き詰まったら、途中計算を書いて、分からない箇所について質問してください。

以降答えまたは参考URLを書きますので解答作成時の参考にしてください。
(3)
>Aの固有ベクトルX=[x,y,z]^tを求めよ。
t=-3の場合　(x,y,z)=(1,-1,1)
t=5の場合 (x,y,z)=(0,1,-2)
t=2の場合 (x,y,z)=(1,-6,6)

(4)
>適当な正則行列PでAを対角化する。
>Pと対角化した結果を求めよっていう問題です。
P=
[1, 0, 1]
[-1,1,-6]
[1,-2, 6]

対角化した結果
P^-1AP=
[-3,0,0]
[0,5,0 ]
[0,0, 2]

(5)
>Pの余因子を求めよっていう問題です。
省略。
上のPから余因子の定義に基づき計算するだけ。
(6)
>｜P｜ の余因子展開を求めよっていう問題です。
省略。

(5),(6)は参考URLに例題がありますので参考にしてやってみてください。
参考URL
ttp://homepage3.nifty.com/rikei-index01/senkei/sarasu.html

(7)
>Pの-1乗を求めよっていう問題です。
Pの逆行列？
P^-1　?

(8)
>Aのn乗を求めよっていう問題です。
ケイリー・ハミルトンの定理を利用してA^2, A^3, A^4, ..., A^n
を求める。
参考URL
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/ケイリー・ハミルトンの定理

回答No.1

Tacosan

(1) に出てくる「行列式の性質」とは, 具体的にはなんですか?

そして, どこが分からないのですか?