締切済み コーシーシュワルツの不等式 2011/05/31 23:53 次の問題を解いてくださいm(__)m ベクトルa、bは2次元ベクトルとし、それぞれゼロベクトルではないとき次を示せ。 画像を拡大する みんなの回答 （2） 専門家の回答 みんなの回答 Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2011/06/01 01:19 回答No.2 素直に成分で計算してもいいね. 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する（1） alice_44 ベストアンサー率44% (2109/4759) 2011/06/01 00:15 回答No.1 有名な証明なんで、どこかで見たことあるんじゃないか と思うのですが… スカラー s について、|a + s b|≧0 が常になりたちます。 両辺を二乗すると、s の二次不等式に変形できますから、 それが任意の s について成立つ条件を、判別式を使って 処理すれば、目的の式が得られます。 やってみて下さい。(→補足へ！) 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A ベクトル計算の問題 次の問題を解いてくださいm(__)m ベクトルa、bは2次元ベクトルとし、それぞれゼロベクトルではないとき次を示せ。 ベクトルの従属の問題 次の問題を解いてくださいm(__)m ベクトルa、bは３次元ベクトルとし、それぞれゼロベクトルではないとき次を示せ。 コーシーシュワルツの不等式 文字は全て実数 √(a^2+b^2+c^2)*√(x^2+y^2+z^2)≧|ax+by+cz| を利用して 10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2 を証明せよ。という問題です。 調べてみると上記のシュワルツの不等式を利用するようなのですが うまい変形が思いつきませんでした。 ご教授お願いいたします。 コーシー・シュワルツの不等式の証明について コーシー・シュワルツの不等式の証明について 二次不等式を使った証明なのですが、場合分けをする理由がよくわかりません。 どなたかご教示お願いします。 問．tがどんな実数値を取っても常に（at-x)^2+(bt-y)^2≥0であることを用いて、次の不等式を証明せよ。 （a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 これを証明するには、 （at-x)^2+(bt-y)^2≥0の左辺をtについて整理して (a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≥0 したがってtの2時不等式が得られるので、（左辺）≥0となる条件から D/4＝（ax+by）^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≤0 移行して (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 と、ここまでは導けたのですが、解答では （i）a^2+b^≠0 すなわち a^2+b^2>0のとき （ii）a^2+b^2=0 すなわち a=b=0のとき と場合分けをして、どちらも成り立つことを証明しています。 この二次不等式が0以上であるためには判別式D≦0とともにa^2+b^2>0（下に凸）という条件が入ってくるのだと思いますが、それならば（ii）はいらないのではないでしょうか。2つの場合が成り立たなければならない理由はなんでしょうか。 よろしくお願いいたします。 コーシーシュワルツの不等式の問題 a＞0、b＞0、c＞0、d＞0のとき (1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つことを証明せよ コーシーシュワルツの不等式を使うのですがどうやるのでしょうか？教えてください シュワルツの不等式 現在、「シュワルツの不等式」を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は f(x)、ｇ(x)はともに区間a≦x≦bで定義された連続関数とする。このとき、ｔを任意の実数とし、∫（a→ｂ）｛f(x)+tｇ(x)｝^2dxを考えることにより、次の不等式を証明せよ。 ｛∫（a→b）f(x)ｇ(x)dx｝^2≦∫（a→b）｛f(x)｝^2dx∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx また、どのようなときに統合が成立するか述べよ。です。 全くわからなくて、解答をみたのですが、解答をみても納得いかないところがあります。 解答は、 任意のｔについて、｛f(x)+tｇ(x)｝^2≧０から、∫（a→ｂ）｛f(x)+tｇ(x)｝^2dx≧０ ｔ^2∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx+2ｔ｛∫（a→b）f(x)ｇ(x)dx｝+∫（a→b）｛f(x)｝^2dx≧０ ⅰ）∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０ ・・・ ⅱ） ∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＞０のとき・・・ とあります。 ⅰのときのところで質問です。 ∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０のとき、a≦x≦bでつねにｇ(x)＝０とは必ずしもそういえますか？ たとえば、ｇ(x)がaとbの中間で点対称のグラフでも、 ∫（a→b）｛ｇ(x)｝^2dx＝０ となると思います。必ずしもｇ(x)＝０とは言えないと思いますが・・・。 解答を読んでもよくわかりません。 この解答の意図するところもよくわかりません。（途中までしか書いてませんが。） 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。 シュワルツの不等式？ {∫(x+a)(x+b)dx}^2≦{∫(x+a)^2dx}{∫(x+b)^2dx}を示せ。 （↑積分区間は０から１です↑） という問題で、回答では {∫(x+a)^2dx}＝A {∫(x+a)(x+b)dx}^2＝B {∫(x+b)^2dx}＝C とおき、 tを任意の実数とすると {t(x+a)+(x+b)}^2≧0であるから ∫{t(x+a)+(x+b)}^2dx=・・・＝At^2+2Bt+C≧0 （↑積分区間は0から1です↑） で、 At^2+2Bt+C＝0の判別式をDとすると D/4 = B^2-AC≦0 ゆえに {∫(x+a)(x+b)dx}^2≦{∫(x+a)^2dx}{∫(x+b)^2dx} とあるのですが、 『tを任意の実数とすると {t(x+a)+(x+b)}^2≧0であるから』 どうしてこう置いたのか、よくわかりません。 すいませんが、教えて頂けたらうれしいです。 コーシー＝シュワルツの不等式の応用(高校二年) 次の不等式を証明せよ (1) √(a^2+b^2+c^2)√(x^2+y^2+z^2) ≧ |ax+by+cz| (2) √(a^2+b^2+1) + √(x^2+y^2+1) ≧ √(((a - x)^2) + ((b - y)^2)) 問一は解けたのですが、問二がどうしても解けません。 問一の不等式を応用して問二を解くらしいことは分かるのですが・・・ 違いますか？ 宜敷御願いします。 シュワルツの不等式の証明について 証明の過程で、途中計算がわからない部分があります。 VをK上のベクトル空間。||a||=√<a,a>、(∀a∈V)と定義。 ∀a,b∈Vに対して|<a,b>|≦||a|| ||b||、を示す [証明] e=b/||b||と置き、この証明の一部で 0≦||a-<a,e>e||^2 =<a-<a,e>e , a-<a,e>e>・・・(1) =<a,a> - <e,a><a,e> - <a,e><e,a> + <a,e><e,a><e,e>・・・(2) この最後の(1)から(2)への式変形が計算できません。 分配法則を使って<a,a>まではわかるのですが、それ以降が全くわかりません。 予想するに、<a,<a,e>e>=<e,a><a,e>なんでしょうか？これも根拠は不明。 よろしくおねがいします。 ゼロベクトルについて ベクトルについて質問させてください。 例えばこの有名不等式 |ベクトルa,bの内積|≦|ベクトルa||ベクトルb| の証明でも表現がちょっと雑ですが、ベクトルa,bがゼロである場合とない場合とで場合分けしています。確かに公式には所々ゼロベクトルでない条件の記載がありますが、いまいちよく把握しきれていません。どうしてゼロベクトルの場合分けをしているのか、ベクトルに関する公式には全てゼロベクトルでない条件が付きまとうのか否かを教えて下さると嬉しいです(*^^*) コーシー・シュワルツの不等式 コーシー・シュワルツの不等式はどんなときに使うか教えて下さい。 4次元空間の3つのベクトルが互いに直交する条件 以前、 4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3519203.html において、いろいろ教えていただけました。 同様にすれば、4次元空間の3つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元である条件、が成分を用いて書けることになります。 ところで、いくつかのベクトルが張る空間が1次元というのは、すべてのベクトルが平行ということです。 今回、それとは逆に「すべてのベクトルが互いに直交する」という条件を考えてみたいと思います。 4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。 a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4]) b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4]) c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4]) d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4]) とします。 a↑、b↑、c↑、d↑の４つのベクトルが互いに直交する条件は、 ４つのベクトルでできる立体＝超立方体 なので、行列式の絶対値は、各辺の積と等しく、 ｜a↑ b↑ c↑ d↑｜＾２＝｜a↑｜＾２＊ ｜b↑｜＾２＊ ｜c↑｜＾２＊｜ d↑｜＾２ とかけます。成分でも書けます。 a↑、b↑の２つのベクトルが互いに直交する条件は、 内積を用いて、 a↑・b↑＝０ とかけます。成分でも書けます。 最後に、a↑、b↑、c↑の３つのベクトルが互いに直交する条件を、できるだけ簡素に書きたいとき、どういった書き方になるのでしょうか? すべての組の内積が０というのより、なんらかの行列式を用いて書きたいのですが。 4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件 4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。 a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4]) b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4]) c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4]) d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4]) とします。 これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。 各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。 4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式 ｜a↑ b↑ c↑ d↑｜≠０ 4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、 a↑∥b↑∥c↑∥d↑ a[1]：a[2]：a[3]：a[4]＝b[1]：b[2]：b[3]：b[4]＝c[1]：c[2]：c[3]：c[4]＝d[1]：d[2]：d[3]：d[4] (a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])＝(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4]) ＝(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])＝(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4]) このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか？ 4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか？ 行列ノルムの不等式 シュワルツの不等式を用いて次の式を証明せよ ||AB||≦||A|| ||B|| という問題を解いてほしいのです 。 AやBがベクトルならばそれほど難くないのですが、行列になっていてよくわかりません。 よろしくお願いします。 シュワルツの不等式の証明（ものすごく基本？） 題名の証明をしているのですが、わからないところがあります。証明するときにはなんか積分の部分をＡやらＢやらＣやらに置いて不等式At^2+2Bt+C≧0としています。そしてこれが成り立つための条件がＡ＞0、Ｂ＾２－ＡＣ≦0またはＡ＝Ｂ＝0、Ｃ≧0となっています。 このＢ＾２－ＡＣ≦0の部分がわからないのです。解をもつのならＢ＾２－ＡＣ≧0になるのではないのですか？ かなり基本的（ひょっとしたら二次不等式の問題？）なのですがよろしくおねがいます。 コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。 コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%b3%a1%bc%a5%b7%a1%bc%a1%a6%a5%b7%a5%e5%a5%ef%a5%eb%a5%c4%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0 上のＨＰのコーシー・シュワルツ不等式の相加相乗平均での証明法についてです。 中ほどのルートを外すところですが、 実際は http://cid-b9bcb472398930c5.photos.live.com/self.aspx/%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%82%a2%e3%83%ab%e3%83%90%e3%83%a01/%e7%84%a1%e9%a1%8c%e3%81%ae%e7%94%bb%e5%83%8f%e3%82%b3%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%bc.png (a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB のように分子に絶対値が付くと思うのですが。 しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2 となり、 コーシー・シュワルツの不等式式より厳しい不等式が出てきます。 どこかが間違えてると思うのですが、どこだか分かりません。 どなたか問題点が分かりましたら教えてください。 よろしくお願いします。 行列の問題がわからなくて困っています。 行列の問題がわからなくて困っています。 どれもゼロベクトルでない4つのベクトルa,b,c,dが互いに直交しているとき、これらが一次独立であることを証明せよ。 いろいろ調べてみたのですが、わかりません。詳しい解答をお願いします。 よろしくお願いします。 不等式の証明（ベクトル） 空間の任意のベクトルa,bについて，||a||をベクトルaの大きさとすると，不等式: ||a-b||=>| ||a||-||b|| | が成り立つことを証明せよ。 という問題があったのですが，どのように証明すればよいのでしょうか。 ちなみに，まだ内積を定義していない状況です。内積を使わない方法を教えてください。 互いに平行ではない2つのベクトル→a・・・ 互いに平行ではない2つのベクトル→a、→b （ただし、ゼロベクトルではないとする）があって、これらが s(→a + 3→b)+t(-2→a + →b)=-5→a - →b をみたすとき、s=□、t=□である。 分かりません。。 よろしくお願いします。 ベクトル空間 a = (2,2,3) b = (2,0,-4) c = (1,-2,1) でベクトルaが生成する1次元ベクトル空間を考え この空間へ上記ベクトルbを射影したベクトルb'を求めよ。 この問題での「ベクトルaが生成する1次元ベクトル空間」とはどういうことですか？ 空間ベクトルあたりがいまいちピンとこないので、教えてくださると助かります。 注目のQ&A 「前置詞」が入った曲といえば？ 緊急性のない救急車の利用は罪になるの？ 助手席で寝ると怒る運転手 世界がＥV車に全部切り替えてしまうなら ハズキルーペのCMって…。 全て黒の5色ペンが、欲しいです 長距離だったりしても 老人ホームが自分の住所になるのか？ 彼氏と付き合って2日目で別れを告げられショックです 店長のチクチク言葉の対処法 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど
