ゼロベクトルについて

質問

ベクトルについて質問させてください。
例えばこの有名不等式
|ベクトルa,bの内積|≦|ベクトルa||ベクトルb|
の証明でも表現がちょっと雑ですが、ベクトルa,bがゼロである場合とない場合とで場合分けしています。確かに公式には所々ゼロベクトルでない条件の記載がありますが、いまいちよく把握しきれていません。どうしてゼロベクトルの場合分けをしているのか、ベクトルに関する公式には全てゼロベクトルでない条件が付きまとうのか否かを教えて下さると嬉しいです(*^^*)

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

＞どうしてゼロベクトルの場合分けをしているのか、ベクトルに関する公式には全てゼロベクトルでない条件が付きまとうのか……

ベクトルa,bの為す角をθとするとき
ベクトルa,bの内積=|a|*|b|*cosθ
が内積の定義ですね。
ところが一方が零ベクトルだと「ベクトルa,bの為す角」が定められません。
一方が零ベクトルの時は内積は0であると定めます。
ですから零ベクトルであるか否かで場合分けする必要が生ずるのです。例示されている不等式の証明は次のようになりますね。

（１）少なくとも一方が零ベクトルの時は，大きさが0だから
ベクトルa,bの内積=0
|a|と|b|の少なくとも一方が0だから
|ベクトルa,bの内積|=0
|a||b|=0
で0=0の形で不等式は成り立ちます。

（２）どちらも零ベクトルでない時は
ベクトルa,bの内積=|a|*|b|*cosθ
から
|ベクトルa,bの内積|=||a|*|b|*cosθ|=|a|*|b|*|cosθ|
-1≦cosθ≦1だから|cosθ|≦1
|a|*|b|*|cosθ|≦|a|*|b|
∴|ベクトルa,bの内積|≦|a|*|b|

お礼

確かになす角なんてある訳ないですね！直感的に考えたら物凄く単純でした。今一度全てのベクトル公式を見直してみたいと思います😊