シュワルツの不等式の証明について

質問

証明の過程で、途中計算がわからない部分があります。

VをK上のベクトル空間。||a||=√<a,a>、(∀a∈V)と定義。
∀a,b∈Vに対して|<a,b>|≦||a|| ||b||、を示す

[証明]
e=b/||b||と置き、この証明の一部で
0≦||a-<a,e>e||^2
=<a-<a,e>e , a-<a,e>e>・・・(1)
=<a,a> - <e,a><a,e> - <a,e><e,a> + <a,e><e,a><e,e>・・・(2)

この最後の(1)から(2)への式変形が計算できません。
分配法則を使って<a,a>まではわかるのですが、それ以降が全くわかりません。
予想するに、<a,<a,e>e>=<e,a><a,e>なんでしょうか？これも根拠は不明。
よろしくおねがいします。

回答No.2

itukadarekato · ベストアンサー

・問題の設定にやや疑問があります。

>VをK上のベクトル空間。
>||a||=√<a,a>、(∀a∈V)と定義。

・この下の式が内積でノルムを定義しているとするなら
Kを複素数 C または実数 R とする内積線形空間の議論と思われます

・正確には下の式の様に内積で定義された||a||がノルムになることを
示すためにシュワルツの不等式が必要だという議論かと思います。

・この様な議論であれば、K=CかK=Rを明確にすべきです

・記載された式変形

>0≦||a-<a,e>e||^2
=<a-<a,e>e , a-<a,e>e>・・・(1)
=<a,a> - <e,a><a,e> - <a,e><e,a> + <a,e><e,a><e,e>・・・(2)

からK=Cであることが推測されますので
K=Cとして説明します

説明：内積は次の性質を持ちます　k,lを複素数x,y,z∊Vとして

1. <x,x>≧0, <x,x>=0⇔x=0
2. <x,y>=var(<y,x>)
3. <kx+ly,z>=k<x.z>+l<y,z>

ここでvar(k)はkの共役複素数とします(lはエルです)
2.3.から次の性質が出ます

4. <z,kx+ly>=var(k)<z.x>+var(l)<z,y>

<a,e>は複素数ですから<a,e>=kとおきます
当然、性質2.より var(k)=var(<a,e>)=<e,a> です

内積の計算は理解しているようなので
これらの性質を使い貴方の計算をやり直します

0≦||a-ke||^2
=<a-ke , a-ke>・・・(1)
=<a,a> - var(k)<a,e> - k<e,a> + k×var(k)<e,e>・・・(2)’

私は(2)の様な式の記述が好ましいとは思いませんが
k=<a,e>、var(k)=<e,a>
と置き戻せばあなたの(2)の式になります

回答No.1

Tacosan

内積は双線型.