ベクトル計算の問題

質問

次の問題を解いてくださいm(__)m

ベクトルa、bは2次元ベクトルとし、それぞれゼロベクトルではないとき次を示せ。

回答No.4

OurSQL · ベストアンサー

矢野健太郎の「数学小辞典」を読むのもいいだろう。「比」、「比の値」、「比例式」について、きちんと説明している。
「比例式」とは、「二つの比 a : b と c : d の値が等しいことを表す式 a : b = c : d のこと。この式は a/b = c/d と書くこともできる」と説明している。
「比」と「比の値」についても明確に定義されているから、目を通しておくといい。

権威ある数学者たちが著した英語文献でも、「比」(ratio) をきちんと定義している。
DEFINITION Ratio
A ratio is an ordered pair of numbers, written a : b, with b ≠ 0

要するに、どちらの文献でも、b = 0 や d = 0 の場合は考慮の対象外になっている。
ここまでで挙げた例は、下の URL で確認できる。
http://www.lib.miyakyo-u.ac.jp/library/Outline/Publication/kiyou/42kiyopdf/42-63-71.pdf

Wikipedia でも Yahoo！百科事典でも、調べてみるといいだろう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AF%94
http://100.yahoo.co.jp/detail/%E6%AF%94%E4%BE%8B%E5%BC%8F/

質問者様は、今回の質問では、

a // b <--> a = kb を満たす実数 k ≠ 0 が存在する <--> a1 b2 － a2 b1 = 0

を証明すればいいことは、お分かりいただけたと思います。その中で、

a1 b2 － a2 b1 = 0 --> a = kb を満たす実数 k ≠ 0 が存在する

が成り立つことを示す部分だけが、少し厄介といえるでしょう。
a1, a2, b1, b2 のうち、どれも 0 に等しくなければ簡単ですが、そういう保証がないので場合分けが必要です。
しかし、場合分けを面倒くさがらずに行えば、意外とあっさり解決します。

例えば、b2 = 0 の場合、a1 ≠ 0, a2 = 0, b1 ≠ 0 がすべて成り立ちます。
よって、a = kb を成り立たせる k ≠ 0 として、k = a1／b1 と取ればよいと分かります。

この要領で、証明を完成させてください。

回答No.6

alice_44

回答から、一部の罵詈雑言合戦が削除された際、
Wikipedia の「射影空間」のページへのリンクが
一緒に削除されたことを注記しておく。
特定の意図があってのことと思う。

回答No.5

alice_44

先刻は、電話からのアクセスで、リンク先が見られなかったのだけれど、
その http://www.lib.miyakyo-u.ac.jp/library/Outline/Publication/kiyou/42kiyopdf/42-63-71.pdf は、
タイトルからして「高等学校数学における比と比例」で、内容的には
高校数学における比の取り扱いの特殊性、また普通の数学との違いについて
書いてある論文だ。
出典も「宮城教育大学紀要」だし、教育学上の関心から
そういった観点で書いてある。
文献も、実は、この「高等学校数学における比と比例」に引用されているもので、
文献表を見れば、数学の文献ではなく、数学指導の現状を考察した
教育学上の文献であることが判る。そこに書かれてあるものは、
数学の常識とは必ずしも一致しない、初等教育における数学教程の内容
についてだ。

回答No.3

alice_44

1/0 という除算は値を持たないが、1:0 という比は存在する。
a:b=c:d は、∃r≠0,(a,b)=r(c,d) という定義だから、
1:0=2:0 には何の問題もない。

回答No.2

OurSQL

まず、vector a, vector b, a1, a2, b1, b2 の関係を、きちんと書く必要があります。
添付画像を見た感じでは、a = (a1, a2), b = (b1, b2) なのだと思いますが、憶測で回答するのを嫌う回答者もいます。

http://okwave.jp/qa/q5662537.html

上の Q & A を見ればお分かりでしょう。
△ABC において、a, b, c がそれぞれ BC, CA, AB を表すことは、高校数学の教科書でも認められています。
それなのにダメ出しする回答者もいるくらいですから、a = (a1, a2), b = (b1, b2) という断り書きは省略できません。

質問文では、a と b はどちらも零ベクトルでないと仮定しています。
よって、a ≠ (0, 0) かつ b ≠ (0, 0) ではありますが、例えば a = (1, 0), b = (2, 0) でも別に構いませんね。
こういう場合は、a1 : a2 とか b1 : b2 といった比を考えることはできません。
よって、別の解き方を選ぶ必要があります。

与えられた条件より、

a // b <--> a = kb を満たす実数 k ≠ 0 が存在する <--> a1 b2 － a2 b1 = 0

が成り立つことを、御自身で確認してください。

回答No.1

alice_44

算数の教科書を読むと、
比が等しいとき、内項の積と外項の積は等しい
と書いてあるね。
(a1,a2) // (b1,b2)　⇔　a1:a2 = b1:b2　⇔　a2 b1 = a1 b2　⇔　a1 b2 - a2 b1 = 0